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점대칭 이동한 포물선과 직선의 교점이 원점 대칭일 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 포물선 y=x²+kx를 점 (2,3)에 대해 대칭이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 새로운 포물선과 직선 y=2x-5를 연립하여 교점의 x좌표를 구하는 이차방정식을 세웁니다.
3. 두 교점이 원점에 대해 대칭이므로, 두 교점의 x좌표의 합은 0이 되어야 합니다.
4. 2단계에서 세운 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 합 = 0’ 이라는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
두 교점이 원점 대칭이라는 조건을 ‘두 교점의 x좌표의 합이 0이다’로 변환하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
연속 대칭이동을 이용한 사각형 둘레 최솟값
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두 포물선이 한 점에 대하여 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 포물선이 한 점에 대해 대칭이려면, 두 포물선의 모양(이차항의 계수의 절댓값)이 같고, 볼록한 방향이 반대여야 합니다.
2. 가장 중요한 특징은, 대칭의 중심점은 바로 두 포물선의 꼭짓점의 중점이라는 것입니다.
3. 각 포물선을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
4. 두 꼭짓점의 중점 좌표를 구하면, 그 점이 바로 대칭의 중심 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
‘점대칭’의 기하학적 중심이 ‘두 도형의 꼭짓점의 중점’과 일치한다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
연속 대칭이동을 이용한 최단 거리
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점대칭 이동한 직선과 원이 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 3x+4y+7=0을 점 (2,-3)에 대해 대칭이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 직선과 원 x²+y²=25가 만나 생기는 현의 길이’를 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 원의 중심(0,0)과 새로운 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 5입니다.
5. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용해 현의 길이를 구합니다.
주의할 점:
점대칭 이동, 현의 길이 구하기 등 여러 기본 개념이 순차적으로 사용되는 종합 문제입니다.
”
최단 거리가 되는 점의 좌표 찾기
“
점대칭 이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선 4x+3y-3=0을 점 (1,0)에 대해 대칭이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다. (611번 참고)
2. 이 새로운 직선이 주어진 원에 접하므로, 원의 중심(-2,1)과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름 r과 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세워 양수 r값을 구합니다.
주의할 점:
점대칭 이동과 원의 접선 조건(d=r)이라는 두 가지 핵심 개념을 순차적으로 정확하게 적용해야 합니다.
”
대칭이동을 이용한 거리의 최솟값
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원을 점에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 점대칭 이동은 원의 중심을 점대칭 이동하는 것과 같습니다. 반지름은 변하지 않습니다.
2. 원래 원의 중심 (-1,3)을 점 (1,-2)에 대해 대칭이동한 새로운 중심의 좌표를 구합니다. (두 점의 중점이 (1,-2)임을 이용)
3. 이 새로운 중심이 직선 y=x+a 위에 있으므로, 중심의 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
원 전체의 방정식을 이동시키는 것은 복잡합니다. 항상 중심점의 이동으로 문제를 단순화하여 푸는 것이 효율적입니다.
”
점의 직선 대칭과 삼각형 넓이
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점대칭과 평행이동이 순차적으로 적용된 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (점대칭) 먼저 직선 y=2x+3을 점 (1,2)에 대해 대칭이동한 직선의 방정식을 구합니다. (611번 참고)
2. (평행이동) 1단계에서 구한 직선을 x축으로 3만큼, y축으로 -2만큼 평행이동합니다. (x→x-3, y→y+2 대입)
3. 최종적으로 얻은 직선이 점 (a,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
이동의 순서(점대칭 후 평행이동)를 정확히 지켜야 합니다. 각 이동에 대한 규칙을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다.
”
직선을 다른 직선에 대해 대칭이동
“
직선을 점에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 자취 이용) 원래 직선 위의 임의의 점 P(a,b)를 점 (2,1)에 대해 대칭이동한 점을 Q(x,y)라 합니다. 두 점 P, Q의 중점이 (2,1)임을 이용해 a,b를 x,y로 표현하고, 이를 원래 직선의 방정식에 대입하여 자취를 구합니다.
2. (방법 2: 평행선 이용) 점대칭한 직선은 원래 직선과 평행합니다. 따라서 기울기는 같습니다. 원래 직선 위의 한 점을 잡아 점 (2,1)에 대해 대칭이동시킨 점을 구하고, 이 점을 지나면서 원래 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
방법 2가 더 직관적이고 계산이 간단합니다. ‘점대칭 이동한 직선은 원래 직선과 평행하다’는 성질을 기억하는 것이 중요합니다.
”
두 원이 직선에 대해 대칭일 조건
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604번 문제와 유사하게 f(x,y)=0 형태의 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. (이동 규칙 파악) f(x+1, 2-y)=0은 f(x+1, -(y-2))=0으로 변환하여 해석합니다.
– f(x, -y) : x축 대칭
– f((x+1), -(y-2)) : x축 대칭 후, x축으로 -1만큼, y축으로 2만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 ‘L’자 모양의 도형을 1단계에서 분석한 순서대로 이동시킵니다.
3. x축 대칭을 먼저 시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 -1칸, y축으로 2칸 옮겨 최종 모양을 찾습니다.
주의할 점:
f(…, 2-y)와 같은 표현은 f(…, -(y-2))로 바꾸어 대칭이동과 평행이동을 분리해서 생각하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
”
원을 직선에 대해 대칭이동
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대칭이동과 평행이동을 거친 도형 위의 점과 원점 사이의 거리의 최대/최소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 f(-x-1, -y-1)=0 이 나타내는 도형이 어떤 도형인지 찾습니다. 이는 f(x,y)=0을 원점 대칭한 후, x축으로 -1만큼, y축으로 -1만큼 평행이동한 도형입니다.
2. 원래 도형의 꼭짓점들을 1단계의 규칙에 따라 이동시켜, 새로운 도형의 꼭짓점 좌표를 모두 구합니다.
3. **(최댓값 M)** 새로운 도형의 꼭짓점들 중 원점에서 가장 먼 점까지의 거리를 구합니다.
4. **(최솟값 m)** 새로운 도형의 변들 중 원점에서 가장 가까운 변(직선)까지의 거리를 구합니다.
5. M²과 m²을 더하여 답을 구합니다.
주의할 점:
최솟값은 꼭짓점까지의 거리가 아닐 수 있습니다. 원점에서 도형의 각 변을 포함하는 직선까지의 거리를 구해보고, 그 중 가장 짧은 거리가 도형의 경계 내에 있는지 확인해야 합니다.
”
두 점이 직선에 대해 대칭일 때 축 찾기
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주어진 도형을 이동시켜 다른 도형과 겹쳐지게 하는 이동 규칙을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 도형 A의 기준점(예: 우측 상단 꼭짓점 (2,3))과 도형 B의 기준점(-1,-1)을 비교하여, 단순 평행이동만으로는 겹쳐지지 않음을 확인합니다.
2. 각 보기의 이동 규칙을 하나씩 도형 A에 적용해 봅니다.
– (ㄱ, ㄴ) 평행이동만으로는 불가능합니다.
– (ㄷ) 원점 대칭 후 평행이동
– (ㄹ) y=x 대칭 후 평행이동
3. 각 변환을 도형 A의 꼭짓점들에 적용하여, 그 결과가 도형 B의 꼭짓점들과 일치하는 경우를 모두 찾습니다.
주의할 점:
하나의 이동으로 표현되지 않을 수 있습니다. 대칭이동과 평행이동이 결합된 복합적인 변환을 고려해야 합니다.
”
점의 직선 대칭이동 (중점, 수직)
