원과 직선의 방정식을 연립하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만들고, 이 이차방정식의 판별식을 D라고 할 때, 원과 직선의 위치 관계는 다음과 같이 결정돼요.

판별식 D의 부호	이차방정식의 근	원과 직선의 위치 관계 (교점 개수)
D > 0	서로 다른 두 실근	서로 다른 두 점에서 만난다. (교점 2개)
D = 0	중근 (서로 같은 두 실근)	한 점에서 만난다 (접한다). (교점 1개)
D < 0	서로 다른 두 허근 (실근 없음)	만나지 않는다. (교점 0개)

이 방법은 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 y(또는 x)를 소거한 후 얻어지는 x(또는 y)에 대한 이차방정식의 실근의 개수가 바로 원과 직선의 교점의 개수와 같다는 원리를 이용하는 것입니다.

개념정리 124-1: 만남의 다양한 모습들

좌표평면 위에서 원과 직선은 다음과 같은 세 가지 위치 관계 중 하나를 가질 수 있어요.

1. 서로 다른 두 점에서 만난다: 직선이 원을 가로지르며 두 개의 교점을 만드는 경우.
2. 한 점에서 만난다 (접한다): 직선이 원에 살짝 스치듯 지나가며 하나의 교점(접점)만 만드는 경우.
3. 만나지 않는다: 직선과 원이 서로 떨어져 있어 교점이 하나도 없는 경우.

이러한 위치 관계는 두 도형의 방정식을 연립했을 때 나오는 방정식의 실근의 개수와 밀접하게 관련되어 있습니다. 교점의 x좌표(또는 y좌표)가 바로 연립하여 얻은 방정식의 실근이 되기 때문이죠!

개념정리 124-2: 연립 이차방정식의 판별식 활용!

원의 방정식(예: x² + y² = r²)과 직선의 방정식(예: y = mx + n)이 주어졌을 때, 이 두 식을 연립하여 한 문자에 대해 정리하면 일반적으로 이차방정식을 얻게 됩니다.

예를 들어, 직선의 방정식 y = mx + n을 원의 방정식 x² + y² = r²에 대입하면:

x² + (mx + n)² = r²

이 식을 x에 대해 정리하면 (m²+1)x² + 2mnx + (n²-r²) = 0 과 같은 x에 대한 이차방정식이 됩니다.

이 이차방정식의 판별식을 D라고 할 때, D의 부호에 따라 원과 직선의 위치 관계는 다음과 같이 결정됩니다.

• D > 0 일 때:
  이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 이는 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다는 것을 의미합니다.
• D = 0 일 때:
  이차방정식은 중근(하나의 실근)을 갖습니다. 이는 원과 직선이 한 점에서 만난다 (접한다)는 것을 의미합니다.
• D < 0 일 때:
  이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖고 실근은 없습니다. 이는 원과 직선이 만나지 않는다는 것을 의미합니다.