점 (x₁, y₁)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 다음과 같아요.

이 공식을 점-기울기 형태(Point-Slope Form)라고도 부른답니다. 이 식을 정리하면 우리가 잘 아는 표준형 y=mx+n 꼴로 바꿀 수 있어요!

개념정리 109-1: 직선을 결정하는 두 가지 정보!

하나의 직선을 유일하게 결정하기 위해서는 두 가지 정보가 필요해요. 이전 시간에 배운 ‘기울기와 y절편’도 그중 하나였죠. 오늘 배울 조건은 바로 ‘직선이 지나는 한 점의 좌표‘와 그 ‘직선의 기울기’‘예요.

예를 들어, “점 (2, 3)을 지나고 기울기가 1인 직선”이라고 하면, 그 조건을 만족하는 직선은 오직 하나뿐이랍니다. 이 두 가지 정보를 알면 직선의 방정식을 정확하게 구할 수 있어요.

개념정리 109-2: 두 가지 방법으로 이해하기!

점 A(x₁, y₁)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 구하는 방법은 크게 두 가지로 생각할 수 있어요.

방법 1: 표준형 y = mx + n 이용하기

1. 기울기가 m이므로, 직선의 방정식을 우선 y = mx + n으로 놓을 수 있어요. (여기서 n은 아직 모르는 y절편)
2. 이 직선이 점 A(x₁, y₁)을 지나므로, 이 점의 좌표를 식에 대입하면 성립해야 해요:
   y₁ = mx₁ + n
3. 위 식에서 n = y₁ – mx₁을 얻을 수 있죠. 이 n을 다시 y = mx + n에 대입하면:
   y = mx + (y₁ – mx₁)
4. 이 식을 y₁에 대해 정리하면, y – y₁ = m(x – x₁) 이라는 공식을 얻을 수 있습니다!

방법 2: 기울기의 정의 이용하기

직선 위의 임의의 다른 한 점을 P(x, y)라고 해봅시다. (단, P \ne A 즉, x \ne x₁)
두 점 A(x₁, y₁)과 P(x, y)를 지나는 직선의 기울기는 m이므로, 기울기의 정의에 의해 다음 식이 성립해요:

m = ^{(y – y₁)}⁄_{(x – x1)}

양변에 (x – x₁)을 곱하면:

y – y₁ = m(x – x₁)

이 등식은 점 P가 점 A와 일치할 때, 즉 x=x₁, y=y₁일 때도 (0=0으로) 성립합니다.