108 직선의 방정식 (1): 좌표축에 평행한 직선과 표준형 y=mx+n! 📏
안녕하세요, 도형의 방정식을 탐구하는 친구들! 👋 수직선 위의 두 점 사이의 거리, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 그리고 선분의 내분점과 외분점까지 좌표평면 위의 점들에 대해 자세히 알아보았죠? 이제 이 점들이 모여 만드는 가장 기본적인 도형, 바로 직선을 방정식으로 어떻게 표현하는지 알아볼 차례예요. 직선은 그 모양과 위치에 따라 여러 가지 형태로 방정식을 나타낼 수 있는데, 오늘은 그중에서도 가장 기본이 되는 좌표축에 평행한 직선의 방정식과, 기울기와 y절편을 바로 알 수 있는 직선의 방정식 표준형에 대해 배울 거예요. 함께 직선의 세계로 떠나볼까요? 🚶
📝 핵심만정리: 직선의 방정식 기본 형태!
- 좌표축에 평행한 직선의 방정식:
- 점 (a, b)를 지나고 y축에 평행한 (x축에 수직인) 직선의 방정식: x = a
- 점 (a, b)를 지나고 x축에 평행한 (y축에 수직인) 직선의 방정식: y = b
- (참고: y축의 방정식은 x=0, x축의 방정식은 y=0 입니다. )
- 직선의 방정식의 표준형:
- 기울기가 m이고 y절편이 n인 직선의 방정식은 y = mx + n 입니다.
- 특히, 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ일 때, 기울기 m = tan θ 입니다.
↕↔ 좌표축에 평행한 직선의 방정식: x=a 또는 y=b
개념정리 108-1: 세로선과 가로선!
좌표평면 위에서 가장 간단한 형태의 직선 중 하나는 바로 좌표축에 평행한 직선들이에요.
1. y축에 평행한 (x축에 수직인) 직선
점 (a, b)를 지나면서 y축에 평행한 직선을 생각해 보세요. 이 직선 위에 있는 모든 점들은 x좌표가 항상 a로 일정하고, y좌표만 변하겠죠? 따라서 이 직선의 방정식은 아주 간단하게 x = a로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어, 점 (3, 5)를 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=3입니다.
특별히, y축 자체는 모든 점의 x좌표가 0이므로, y축의 방정식은 x=0입니다.
2. x축에 평행한 (y축에 수직인) 직선
점 (a, b)를 지나면서 x축에 평행한 직선을 생각해 보세요. 이 직선 위에 있는 모든 점들은 y좌표가 항상 b로 일정하고, x좌표만 변하겠죠? 따라서 이 직선의 방정식은 y = b로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어, 점 (3, 5)를 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은 y=5입니다.
특별히, x축 자체는 모든 점의 y좌표가 0이므로, x축의 방정식은 y=0입니다.
기울기 m, y절편 n: 직선의 방정식 표준형 y = mx + n
개념정리 108-2: 직선의 핵심 정보 두 가지!
좌표축에 평행하지 않은 대부분의 직선은 그 기울기와 y절편을 알면 식을 바로 세울 수 있어요. 이렇게 기울기와 y절편을 이용하여 표현된 직선의 방정식을 표준형이라고 부릅니다.
기울기가 m이고, y절편 (y축과 만나는 점의 y좌표)이 n인 직선의 방정식은 다음과 같아요:
y = mx + n
- 기울기 (m): 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ (세타)라고 할 때, m = tan θ로 정의돼요. 또한, 기울기는 x의 값이 1만큼 증가할 때 y의 값의 증가량, 또는 (x의 값의 증가량) 분의 (y의 값의 증가량)으로도 생각할 수 있습니다.
여기에 직선 y=mx+n과 기울기 m, y절편 n, 각도 θ를 표시한 그림
- y절편 (n): 직선이 y축과 만나는 점의 y좌표를 의미해요. 즉, x=0일 때의 y값이죠.
예시:
- 기울기가 2이고 y절편이 1인 직선의 방정식은? (PDF Check 문제 (1))
→ y = 2x + 1 - x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45°이고 y절편이 5인 직선의 방정식은? (PDF Check 문제 (2))
→ 기울기 m = tan 45° = 1.
→ 따라서 방정식은 y = 1x + 5, 즉 y = x + 5.
🧐 개념확인 문제: 직선의 방정식 구하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 조건에 맞는 직선의 방정식을 구해봅시다!
다음 직선의 방정식을 구하시오. (PDF Check 문제 활용)
- x축에 평행하고 점 (1, 3)을 지나는 직선
- 기울기가 -3이고 y절편이 -2인 직선
정답 및 해설:
-
x축에 평행한 직선은 모든 점의 y좌표가 같아요. 점 (1, 3)을 지나므로 y좌표는 항상 3입니다.
따라서 직선의 방정식은 y = 3 입니다.
-
기울기가 m = -3이고 y절편이 n = -2인 직선의 표준형은 y = mx + n입니다.
따라서 직선의 방정식은 y = -3x – 2 입니다.
직선의 특징을 보고 알맞은 방정식의 형태를 떠올리는 것이 중요해요! 😉
오늘은 직선의 방정식을 나타내는 가장 기본적인 두 가지 형태, 즉 좌표축에 평행한 직선(x=a 또는 y=b)과 기울기와 y절편으로 표현되는 표준형(y=mx+n)에 대해 배웠습니다. 특히 표준형에서 기울기와 y절편의 의미를 잘 이해하는 것이 중요했죠? 이 내용들은 앞으로 더 다양한 조건에서 직선의 방정식을 구하는 데 기초가 된답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 한 점과 기울기가 주어졌을 때 직선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 📐