좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 (단, m>0, n>0):

1. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P의 좌표 (x, y):
   P2 + nx₁}{m+n}, \frac{my₂ + ny₁}{m+n}\right)
2. 선분 AB의 중점 M의 좌표 (x, y) (m=n=1인 경우):
   M1 + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)
3. 선분 AB를 m:n으로 외분하는 점 Q의 좌표 (x, y) (단, m ≠ n):
   Q2 – nx₁}{m-n}, \frac{my₂ – ny₁}{m-n}\right)

x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 수직선 위의 내분점/외분점 공식을 그대로 적용하면 된답니다!

개념정리 105-1: 수직선 공식 두 번 적용!

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁)과 B(x₂, y₂)를 잇는 선분 AB를 m:n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표 (x, y)는 어떻게 구할까요?

점 A, P, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A’, P’, B’라고 하면, 평행선 사이의 선분의 길이 비에 의해 A’P’ : P’B’ = AP : PB = m : n이 성립해요. 즉, 점 P’은 선분 A’B’을 m:n으로 내분하는 점이 됩니다. 점 P’의 x좌표는 점 P의 x좌표와 같으므로, 수직선 위의 내분점 공식을 x좌표에 그대로 적용할 수 있어요.

x = \frac{mx₂ + nx₁}{m+n}

마찬가지로 y축에 수선의 발을 내려 생각하면, y좌표도 동일한 원리로 구할 수 있습니다.

y = \frac{my₂ + ny₁}{m+n}

따라서 내분점 P의 좌표는 다음과 같습니다:

P2 + nx₁}{m+n}, \frac{my₂ + ny₁}{m+n}\right)

수직선에서의 공식을 x좌표와 y좌표에 각각 적용한 것과 똑같죠?

개념정리 105-2: 1:1 내분점의 특별한 경우!

선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1:1로 내분하는 점이에요.

따라서 좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁)과 B(x₂, y₂)의 중점 M의 좌표 (x,y)는 내분점 공식에 m=1, n=1을 대입하여 구할 수 있어요.

x = \frac{1 \cdot x₂ + 1 \cdot x₁}{1+1} = \frac{x₁ + x₂}{2}

y = \frac{1 \cdot y₂ + 1 \cdot y₁}{1+1} = \frac{y₁ + y₂}{2}

즉, 중점의 좌표는 각 좌표 성분끼리 더해서 2로 나누면 된답니다!

M1 + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)

개념정리 105-3: 수직선 외분점 공식 확장! (단, m ≠ n)

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁)과 B(x₂, y₂)를 잇는 선분 AB를 m:n (m>0, n>0, m \ne n)으로 외분하는 점 Q의 좌표 (x, y)도 내분점과 마찬가지 원리로 구할 수 있어요.

x축과 y축에 각각 수선의 발을 내려 생각하면, 각 좌표 성분은 수직선 위의 외분점 공식을 따릅니다.

x = \frac{mx₂ – nx₁}{m-n}

y = \frac{my₂ – ny₁}{m-n}

따라서 외분점 Q의 좌표는 다음과 같습니다:

Q2 – nx₁}{m-n}, \frac{my₂ – ny₁}{m-n}\right)