이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0으로 가정)의 두 실근을 α, β라고 하고, f(x) = ax² + bx + c라고 할 때, 실근의 위치에 대한 조건은 다음 세 가지를 주로 고려하여 구해요.

1. 판별식 D의 부호: 실근의 존재 여부 및 개수를 판단 (D \ge 0 또는 D > 0)
2. 경계에서의 함숫값 f(p)의 부호: 특정 값 p를 기준으로 근이 어느 쪽에 있는지 판단 (f(p) > 0, f(p) < 0, f(p) = 0)
3. 축의 방정식 x = –^b⁄_2a의 위치: 축이 특정 값 p보다 큰지 작은지 등을 판단 (–^b⁄_2a > p, –^b⁄_2a < p 등)

문제에서 주어진 조건에 맞게 이차함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 이 세 가지 조건을 종합적으로 따져서 미지수의 값의 범위를 구합니다.

주의! “두 근 사이에 p가 있다” (α < p < β)는 조건은 f(p) < 0 (단, a>0일 때) 하나만으로 충분할 때가 많아요! (왜냐하면 f(p)<0이면 아래로 볼록한 포물선은 반드시 x축과 서로 다른 두 점에서 만나기 때문, 즉 D>0이 자동 만족. )

개념정리 99-1: 실근과 특정 값의 대소 관계

근의 분리란, 이차방정식의 실근이 어떤 특정 상수 값(또는 값들)보다 큰지, 작은지, 아니면 그 사이에 있는지 등, 실근의 상대적인 위치에 대한 조건을 따지는 문제를 말해요.

예를 들어, 다음과 같은 조건들이 근의 분리 문제에 해당합니다:

• 두 근이 모두 1보다 크다.
• 두 근이 모두 -2보다 작다.
• 두 근 사이에 0이 있다 (즉, 한 근은 양수, 한 근은 음수 – 이것은 이전 “실근의 부호”에서 다룬 내용과 연결돼요! )
• 두 근이 모두 0과 3 사이에 있다.

이러한 문제들은 이차함수 y=f(x)의 그래프를 조건에 맞게 그린 후, 그 그래프가 특정 조건을 만족하기 위해 필요한 요소들을 찾아내는 방식으로 해결합니다.

개념정리 99-2: 판별식, 함숫값, 축의 위치!

이차방정식 f(x) = ax² + bx + c = 0 (a \ne 0)의 근의 분리 문제를 풀 때는 일반적으로 다음 세 가지 조건을 조사하고, 이들의 공통 범위를 구합니다. (보통 a>0인 경우로 생각하고, a<0이면 양변에 -1을 곱해 a>0으로 만들고 부등호 방향을 바꾸어 풀면 편리해요.)

1. (판) 판별식 D = b² – 4ac의 부호:
   • 실근의 존재 유무와 개수를 결정해요.
   • “두 근”이라고 하면 중근도 포함하므로 D \ge 0.
   • “서로 다른 두 실근”이라고 하면 D > 0.
2. (함) 경계에서의 함숫값 f(p)의 부호:
   • 문제에서 주어진 특정 경계값 p에 대해 f(p)의 부호(>0, <0, =0)를 조사해요.
   • 이는 그래프가 x=p라는 직선보다 위, 아래, 또는 그 직선 위를 지나는지를 알려줘요.
3. (축) 대칭축의 방정식 x = –^b⁄_2a의 위치:
   • 그래프의 대칭축이 특정 경계값 p보다 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지, 아니면 같은지를 조사해요.
   • (–^b⁄_2a < p, –^b⁄_2a > p, –^b⁄_2a = p)

이 세 가지를 “판-함-축”이라고 기억하기도 해요! 문제의 조건에 따라 이 세 가지를 모두 따져야 할 수도 있고, 일부만 따져도 되는 경우도 있습니다.

개념정리 99-3: 그래프를 그리며 이해하기!

이차방정식 ax²+bx+c=0 (a>0)의 두 실근을 α, β (α \le β)라 하고, f(x)=ax²+bx+c라 할 때, 주요 경우별 조건은 다음과 같아요.

1. 두 근이 모두 p보다 클 조건 (p < α \le β)

• (i) 판별식: D = b²-4ac \ge 0 (실근 또는 중근 존재)
• (ii) 경계에서의 함숫값: f(p) > 0 (x=p일 때 그래프가 x축 위에 있어야 함)
• (iii) 축의 위치: –^b⁄_2a > p (대칭축이 p보다 오른쪽에 있어야 함)

2. 두 근이 모두 p보다 작을 조건 (α \le β < p)

• (i) 판별식: D = b²-4ac \ge 0
• (ii) 경계에서의 함숫값: f(p) > 0
• (iii) 축의 위치: –^b⁄_2a < p (대칭축이 p보다 왼쪽에 있어야 함)

3. 두 근 사이에 p가 있을 조건 (α < p < β)

이 경우는 f(p) < 0 조건 하나만으로 충분해요!

(아래로 볼록한 함수가 x=p에서 음수 값을 가지면 반드시 x축과 서로 다른 두 점에서 만나고, 그 두 점 사이에 p가 있게 됩니다. 즉, D>0 조건과 축의 위치 조건이 자동으로 만족돼요. )

4. 두 근이 모두 p와 q 사이에 있을 조건 (p < α \le β < q)

• (i) 판별식: D = b²-4ac \ge 0
• (ii) 경계에서의 함숫값: f(p) > 0 이고 f(q) > 0
• (iii) 축의 위치: p < -^b⁄_2a < q (대칭축이 p와 q 사이에 있어야 함)