081 실수 조건의 부정방정식 풀이: 완전제곱식과 판별식 활용! 💡
안녕하세요, 수학의 조건을 활용하는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 미지수가 ‘정수’라는 조건이 주어진 부정방정식을 푸는 방법을 배웠어요. 오늘은 미지수 x, y가 실수라는 조건이 주어진 부정방정식을 푸는 두 가지 강력한 전략에 대해 알아볼 거예요. 실수의 중요한 성질인 “(실수)2 ≥ 0“을 이용하거나, 한 문자에 대한 이차방정식으로 정리한 후 “실근을 가져야 하므로 판별식 D ≥ 0“임을 이용하는 방법이랍니다. 이 두 가지 방법을 사용하면 실수 조건의 부정방정식도 깔끔하게 해결할 수 있어요! 함께 그 전략들을 마스터해 볼까요? 🛠️
📝 핵심만정리: 실수 조건 부정방정식, 두 가지 풀이법!
미지수 x, y가 실수라는 조건이 주어진 부정방정식은 주로 다음 두 가지 방법으로 풀어요.
- 방법 1: 완전제곱식의 합 = 0 꼴로 변형하기
- 주어진 방정식을 (f(x,y))2 + (g(x,y))2 = 0 꼴로 변형해요.
- x, y가 실수이면 f(x,y)와 g(x,y)도 실수이므로, (실수)2 ≥ 0 성질에 의해 위 등식이 성립하려면 반드시 f(x,y) = 0 이고 g(x,y) = 0 이어야 해요.
- 이 두 식을 연립하여 x, y 값을 구해요.
- 방법 2: 한 문자에 대해 정리 후 판별식 D ≥ 0 이용하기
- 주어진 방정식을 x (또는 y)에 대한 이차방정식 = 0 꼴로 내림차순 정리해요. (다른 문자는 계수 취급)
- 미지수 x (또는 y)가 실수이므로, 이 이차방정식은 실근을 가져야 해요.
- 따라서 판별식 D ≥ 0이라는 부등식을 세우고, 이 부등식을 풀어 다른 문자(y 또는 x)의 값 또는 범위를 구해요.
- 구한 값을 다시 원래 방정식에 대입하여 나머지 미지수의 값을 구해요.
만약 실수 조건의 부정방정식이 허수단위 i를 포함하고 있다면, 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 풀 수 있어요. (예: A+Bi=0 이면 A=0, B=0)
🤔 실수 조건이 왜 중요할까요?
개념정리 81-1: 실수의 특별한 성질 활용!
부정방정식에서 미지수가 실수라는 조건이 주어지면, 우리는 실수가 가진 두 가지 중요한 성질을 활용하여 해를 찾아낼 수 있어요.
- (실수)2 ≥ 0 (제곱하면 항상 0 이상이다):
만약 실수 A, B에 대해 A2 + B2 = 0이라면, A2 \ge 0이고 B2 \ge 0이므로 이 등식이 성립하기 위해서는 반드시 A2=0이고 B2=0이어야 해요. 즉, A=0이고 B=0이어야 합니다. 이 성질은 주어진 부정방정식을 완전제곱식의 합 형태로 변형할 때 사용돼요. - 실계수 이차방정식의 실근 조건 (판별식 D ≥ 0):
만약 x, y에 대한 방정식을 x에 대한 이차방정식 ax2+bx+c=0 (여기서 a,b,c는 y를 포함한 식 또는 상수)으로 정리했을 때, x가 실수이므로 이 이차방정식은 반드시 실근을 가져야 해요. 따라서 판별식 D = b2-4ac \ge 0이어야 합니다. 이 부등식을 풀면 y에 대한 정보를 얻을 수 있죠.
이 두 가지 성질이 실수 조건의 부정방정식을 푸는 핵심 열쇠가 된답니다!
🛠️ 방법 1: (완전제곱식)2 + (완전제곱식)2 = 0 꼴로 변형하기
개념정리 81-2: 제곱의 합이 0이 되는 마법!
실수 x, y에 대한 부정방정식이 주어졌을 때, 식을 잘 변형하여 (x에 대한 식)2 + (y에 대한 식)2 = 0 또는 더 일반적으로 A2+B2=0 (단, A, B는 x,y에 대한 실수 값의 식) 꼴로 만들 수 있다면, 해를 쉽게 찾을 수 있어요.
왜냐하면 A, B가 실수일 때 A2 \ge 0이고 B2 \ge 0이므로, 두 제곱의 합이 0이 되기 위해서는 각각이 0이 될 수밖에 없기 때문이죠.
A2 + B2 = 0 ⇔ A = 0 이고 B = 0
예시: 방정식 x2 + y2 – 6x + 8y + 25 = 0을 만족시키는 실수 x, y의 값을 구하시오. (PDF 문제)
주어진 식을 x에 대한 항과 y에 대한 항으로 묶어 각각 완전제곱식을 만들어요.
(x2 – 6x) + (y2 + 8y) + 25 = 0
(x2 – 6x + 9 – 9) + (y2 + 8y + 16 – 16) + 25 = 0
(x-3)2 – 9 + (y+4)2 – 16 + 25 = 0
(x-3)2 + (y+4)2 + 0 = 0
즉, (x-3)2 + (y+4)2 = 0 입니다.
x, y가 실수이므로 x-3과 y+4도 실수입니다. 따라서 제곱의 합이 0이 되려면 각각이 0이어야 해요.
x-3 = 0 ⇒ x = 3
y+4 = 0 ⇒ y = -4
따라서 구하는 값은 x = 3, y = -4 입니다.
🚦 방법 2: 한 문자에 대해 정리 후 판별식 D \ge 0 이용하기
개념정리 81-3: 실근 존재 조건 활용!
실수 x, y에 대한 부정방정식이 주어졌을 때, 이 식을 한 문자 (예: x)에 대한 이차방정식으로 보고 정리할 수 있다면, 나머지 문자(y)는 계수처럼 취급해요.
이때 x가 실수 값을 가지려면, 이 x에 대한 이차방정식은 반드시 실근을 가져야 합니다. 따라서 이 이차방정식의 판별식 Dx는 Dx \ge 0을 만족해야 해요.
이 Dx \ge 0이라는 부등식은 y에 대한 부등식이 될 것이고, 이 부등식을 풀어서 y의 값 또는 범위를 찾을 수 있어요. 만약 y의 값이 특정 값으로 정해진다면, 그 값을 다시 원래 x에 대한 이차방정식에 대입하여 x의 값을 구할 수 있습니다.
예시: 방정식 x2 + y2 – 6x + 8y + 25 = 0을 만족시키는 실수 x, y의 값을 판별식을 이용하여 구해봅시다. (PDF “다른 풀이” 참고)
주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면:
x2 – 6x + (y2 + 8y + 25) = 0
이것을 x에 대한 이차방정식으로 보고, x가 실수이므로 판별식 D/4 \ge 0이어야 합니다. (여기서 a=1, b’=-3, c=y2+8y+25)
D/4 = (-3)2 – 1 \cdot (y2 + 8y + 25) \ge 0
9 – y2 – 8y – 25 \ge 0
-y2 – 8y – 16 \ge 0
양변에 -1을 곱하면 (부등호 방향 바뀜):
y2 + 8y + 16 \le 0
(y+4)2 \le 0
y가 실수이므로 (y+4)2은 항상 0 이상입니다. 따라서 (y+4)2 \le 0을 만족하는 경우는 (y+4)2 = 0 뿐입니다.
즉, y+4 = 0 ⇒ y = -4.
이제 y=-4를 원래의 x에 대한 이차방정식 x2 – 6x + (y2 + 8y + 25) = 0에 대입하면:
x2 – 6x + ((-4)2 + 8(-4) + 25) = 0
x2 – 6x + (16 – 32 + 25) = 0
x2 – 6x + 9 = 0
(x-3)2 = 0 ⇒ x = 3.
따라서 구하는 값은 x = 3, y = -4 입니다.
두 가지 방법 중 어느 것을 이용해도 같은 결과를 얻을 수 있어요. 식의 형태에 따라 더 편리한 방법을 선택하면 됩니다!
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시 x2 + y2 – 6x + 8y + 25 = 0을 두 가지 방법으로 풀어보면서 실수 조건의 부정방정식 풀이법을 익힐 수 있었습니다. 핵심은 실수의 성질 (실수)2 ≥ 0 또는 실계수 이차방정식의 실근 조건 D \ge 0을 적절히 활용하는 것이랍니다!
오늘은 미지수가 ‘실수’라는 조건이 주어진 부정방정식을 푸는 두 가지 중요한 방법, 즉 (완전제곱식)2 + (완전제곱식)2 = 0 꼴로 변형하는 것과 한 문자에 대해 정리한 후 판별식 D \ge 0을 이용하는 방법에 대해 배웠습니다. 이 방법들은 실수 조건이 문제 해결의 결정적인 단서가 되는 경우에 매우 유용하게 사용됩니다. 오늘 배운 전략들을 잘 기억하고 다양한 문제에 적용해보세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차방정식의 정수근에 대한 특강 내용을 살펴보겠습니다. 🔢