059 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계: 판별식으로 교점 파악하기! 🤝
안녕하세요, 그래프의 만남을 관찰하는 친구들! 👋 이전 시간에는 이차함수 그래프와 x축의 위치 관계를 판별식을 이용해서 알아보았죠? 오늘은 한 걸음 더 나아가, 이차함수의 그래프와 임의의 직선 y = mx+n이 어떤 위치 관계를 갖는지, 즉 몇 개의 점에서 만나는지를 판별하는 방법에 대해 배울 거예요. 이 역시 두 그래프의 식을 연립하여 만든 새로운 이차방정식의 판별식을 이용하면 간단하게 해결할 수 있답니다! 포물선과 직선이 어떻게 만나는지, 그 비밀을 함께 파헤쳐 볼까요? 🗺️
📝 핵심만정리: 이차함수와 직선, 어떻게 만날까?
이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 직선 y = mx + n의 위치 관계는 다음과 같이 판단해요.
- 두 식을 연립한다: ax2 + bx + c = mx + n
- 한쪽으로 이항하여 이차방정식 만들기: ax2 + (b-m)x + (c-n) = 0
- 이 새로운 이차방정식의 판별식 D를 계산해요.
(D = (b-m)2 – 4a(c-n)) - 판별식 D의 부호에 따라 위치 관계가 결정돼요:
- D > 0: 서로 다른 두 점에서 만난다.
- D = 0: 한 점에서 만난다 (접한다).
- D < 0: 만나지 않는다.
결국, 두 그래프의 교점의 개수는 연립하여 만든 이차방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같아요!
🔗 교점의 x좌표는 연립방정식의 실근!
개념정리 59-1: 두 그래프의 만남의 의미
이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 직선 y = mx + n이 만나는 점, 즉 교점은 두 그래프가 공통으로 지나는 점을 의미해요. 교점에서는 두 식의 x값과 y값이 모두 같겠죠?
따라서 교점의 x좌표를 찾으려면, 두 식의 y값이 같다고 놓고 x에 대한 방정식을 만들면 돼요.
ax2 + bx + c = mx + n
이 식을 한쪽으로 모두 이항하여 정리하면 다음과 같은 x에 대한 이차방정식을 얻을 수 있습니다:
ax2 + (b-m)x + (c-n) = 0
이 이차방정식의 실근이 바로 이차함수 그래프와 직선의 교점의 x좌표가 되는 것이랍니다. 만약 이 방정식이 허근을 갖는다면, 두 그래프는 실수 평면에서 만나지 않는다는 뜻이겠죠.
🚦 판별식 D와 위치 관계: 세 가지 시나리오!
개념정리 59-2: D의 부호가 모든 것을 말해준다!
이차함수 y = ax2 + bx + c와 직선 y = mx + n의 위치 관계는, 두 식을 연립하여 만든 이차방정식 ax2 + (b-m)x + (c-n) = 0의 판별식 D = (b-m)2 – 4a(c-n)의 부호에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나뉘어요.
1. D > 0 일 때: 서로 다른 두 점에서 만난다!
판별식이 양수이면, 연립하여 만든 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가져요. 이는 이차함수의 그래프와 직선이 서로 다른 두 개의 교점을 갖는다는 것을 의미합니다.
2. D = 0 일 때: 한 점에서 만난다 (접한다)!
판별식이 0이면, 연립하여 만든 이차방정식은 중근(서로 같은 두 실근, 즉 한 개의 실근)을 가져요. 이는 이차함수의 그래프와 직선이 한 점에서만 만나며, 이 상태를 “접한다”고 표현합니다.
3. D < 0 일 때: 만나지 않는다!
판별식이 음수이면, 연립하여 만든 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖고, 실근은 존재하지 않아요. 이는 이차함수의 그래프와 직선이 교점을 갖지 않는다, 즉 만나지 않는다는 것을 의미합니다.
두 이차함수의 위치 관계도 비슷해요! 🧐
두 이차함수 y = ax2+bx+c와 y = px2+qx+r (a \ne p)의 그래프의 위치 관계도 같은 방법으로 생각할 수 있어요. 두 식을 연립하여 (a-p)x2 + (b-q)x + (c-r) = 0 이라는 새로운 이차방정식을 만들고, 이 방정식의 판별식 D의 부호로 위치 관계를 판단하면 된답니다! (D>0: 두 점, D=0: 한 점(접함), D<0: 만나지 않음)
🧐 개념확인 문제: 이차함수와 직선의 만남 예측하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판별해 봅시다! (PDF에는 이 주제에 대한 직접적인 Check 문제가 없으므로, 일반적인 예제를 만들어 풀어볼게요.)
이차함수 y = x2 – 3x + 5의 그래프와 직선 y = x + k의 위치 관계가 다음과 같도록 하는 실수 k의 값 또는 범위를 구하시오.
- 서로 다른 두 점에서 만난다.
- 한 점에서 만난다 (접한다).
- 만나지 않는다.
정답 및 해설:
1. 두 식을 연립하여 이차방정식을 만듭니다.
x2 – 3x + 5 = x + k
x2 – 3x – x + 5 – k = 0
x2 – 4x + (5 – k) = 0
2. 이 이차방정식의 판별식 D (또는 D/4)를 계산합니다.
x의 계수가 -4 (짝수)이므로 짝수 판별식을 사용할게요. (a=1, b’=-2, c=5-k)
D/4 = (-2)2 – 1 \cdot (5 – k) = 4 – (5 – k) = 4 – 5 + k = k – 1
3. 판별식의 부호에 따라 k의 조건을 구합니다.
- 서로 다른 두 점에서 만날 조건: D/4 > 0
k – 1 > 0 ⇒ k > 1 - 한 점에서 만날 (접할) 조건: D/4 = 0
k – 1 = 0 ⇒ k = 1 - 만나지 않을 조건: D/4 < 0
k – 1 < 0 ⇒ k < 1
이처럼 두 그래프의 식을 연립하여 만든 이차방정식의 판별식을 이용하면, 미지수 k의 값에 따라 이차함수와 직선이 어떻게 만나는지 명확하게 알 수 있어요! 👍
오늘은 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판별식을 이용하여 파악하는 방법에 대해 배웠습니다. 두 식을 연립하여 하나의 이차방정식으로 만들고, 그 방정식의 판별식 D의 부호에 따라 두 그래프가 두 점에서 만나는지, 한 점에서 접하는지, 아니면 만나지 않는지를 알 수 있었죠? 이 원리는 이차함수와 관련된 다양한 문제 해결에 응용될 수 있으니 꼭 기억해주세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 😊