이차함수 y = ax² + bx + c (계수 a,b,c는 실수, a \neq 0)의 그래프와 x축의 위치 관계는, 해당하는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² – 4ac의 부호에 따라 다음과 같이 결정돼요.

• D > 0 (양수) 일 때:
  → 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가진다.
  → 이차함수의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
• D = 0 (0) 일 때:
  → 이차방정식은 중근(서로 같은 두 실근)을 가진다.
  → 이차함수의 그래프는 x축과 한 점에서 만난다 (접한다).
• D < 0 (음수) 일 때:
  → 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가진다 (실근은 없다).
  → 이차함수의 그래프는 x축과 만나지 않는다.

만약 일차항의 계수가 짝수 (b=2b’)라면, 짝수 판별식 D/4 = b’² – ac를 사용해도 동일하게 판별할 수 있어요!

결국, “이차함수 그래프가 x축과 만난다”는 것은 “이차방정식의 판별식 D \ge 0이다”라는 말과 같은 뜻이랍니다!

개념정리 58-1: 다시 한번 기억하기!

우리가 바로 이전 포스팅(057번)에서 배운 핵심 내용을 다시 한번 상기해 볼까요?

“이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축(y=0)의 교점의 개수는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 서로 다른 실근의 개수와 같다.”

이것이 오늘 배울 내용의 가장 기본적인 출발점이에요. 이차함수의 그래프가 x축과 몇 개의 점에서 만나는지는, 결국 해당 이차방정식이 몇 개의 서로 다른 실근을 갖는지에 달려있다는 거죠!

개념정리 58-2: D의 부호가 교점의 운명을 결정한다!

이제 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² – 4ac의 부호와 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축의 교점 개수 사이의 관계를 자세히 살펴볼게요.

1. D > 0 일 때 (서로 다른 두 실근)

이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 것은, 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 두 개 있다는 뜻이에요. 따라서 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만납니다.

2. D = 0 일 때 (중근, 즉 한 개의 실근)

이차방정식이 중근을 갖는다는 것은, 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 하나뿐이라는 뜻이에요. 이 경우 그래프는 x축과 한 점에서 만나며, 이를 “접한다”고 표현합니다.

3. D < 0 일 때 (서로 다른 두 허근, 실근 없음)

이차방정식이 서로 다른 두 허근을 갖는다는 것은, 실수인 근이 없다는 뜻이에요. 따라서 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점이 없습니다. 즉, 그래프는 x축 위에 붕 떠 있거나 (아래로 볼록한 경우) x축 아래에 가라앉아 있는 (위로 볼록한 경우) 모양이 됩니다.