054 이차함수의 그래프: 포물선의 모든 것 파헤치기! (기본형, 표준형, 일반형) 🎢
안녕하세요, 함수의 그래프를 그리는 예술가 친구들! 👋 다항함수 중에서 가장 기본적이면서도 중요한 이차함수! 오늘은 이 이차함수의 그래프가 어떤 모양을 하고, 어떤 특징들을 가지는지 자세히 알아볼 거예요. 이차함수의 그래프는 아름다운 곡선 모양인 포물선을 그리는데, 이 포물선의 모양과 위치를 결정하는 비밀들이 이차함수의 식 속에 숨어있답니다. 함께 그 비밀을 풀고 이차함수 그래프의 달인이 되어봅시다! 🎨
📝 핵심만정리: 이차함수 그래프의 모든 것!
이차함수는 보통 세 가지 형태로 표현되며, 각 형태별 그래프의 특징은 다음과 같아요.
- 기본형: y = ax2 (a ≠ 0)
- 모양: a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록한 포물선. |a|가 클수록 폭이 좁아져요.
- 꼭짓점: 원점 (0, 0)
- 축의 방정식: y축 (직선 x = 0)
- 표준형: y = a(x-p)2 + q (a ≠ 0)
- y = ax2의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.
- 모양: a의 부호에 따라 결정 (기본형과 동일).
- 꼭짓점: 점 (p, q)
- 축의 방정식: 직선 x = p
- 일반형: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
- 표준형 y = a(x-p)2 + q 꼴로 변형하여 그래프의 특징을 파악해요.
- 변형하면 y = a(x + b⁄2a)2 – (b2-4ac)⁄4a.
- 꼭짓점: (-b⁄2a, –(b2-4ac)⁄4a)
- 축의 방정식: 직선 x = –b⁄2a
- y절편 (그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표): c (식에 x=0을 대입하면 얻을 수 있어요.)
🌀 기본형: y = ax2 그래프의 특징
개념정리 54-1: 모든 이차함수 그래프의 출발점!
이차함수 y = ax2 (a \neq 0)은 가장 기본적인 형태의 이차함수예요. 이 그래프의 특징을 잘 알아두면 다른 형태의 이차함수 그래프도 쉽게 이해할 수 있답니다.
- 그래프 모양 (볼록 방향):
- a > 0 (양수)이면 그래프는 아래로 볼록한 모양이에요. (웃는 모습 😊)
- a < 0 (음수)이면 그래프는 위로 볼록한 모양이에요. (찡그린 모습 😟)
여기에 y=ax² (a>0), y=ax² (a<0) 그래프 이미지 예시 - 그래프 폭: a의 절댓값 |a|가 클수록 그래프의 폭은 좁아지고, |a|가 작을수록 폭은 넓어져요.
- 꼭짓점: 포물선의 가장 뾰족한 부분! y = ax2 그래프의 꼭짓점은 항상 원점 (0, 0)이에요.
- 축 (대칭축): 포물선은 어떤 직선에 대해 대칭인데, 이 직선을 축이라고 해요. y = ax2 그래프의 축은 y축이고, 직선의 방정식으로는 x = 0으로 나타내요.
y = ax2의 그래프와 y = -ax2의 그래프는 서로 x축에 대하여 대칭이라는 점도 기억해두면 좋아요!
🚀 표준형: y = a(x-p)2 + q 그래프 (평행이동의 마법!)
개념정리 54-2: 기본형 그래프를 옮겨보자!
이차함수의 표준형인 y = a(x-p)2 + q (a \neq 0)는 기본형 y = ax2의 그래프를 평행이동 시킨 형태예요.
- x 대신 (x-p)가 들어갔으니 x축 방향으로 p만큼 평행이동!
- y 대신 (y-q) (즉, y = … + q)가 되었으니 y축 방향으로 q만큼 평행이동!
따라서 그래프의 모양(a의 부호와 폭)은 기본형과 똑같고, 위치만 바뀌어요.
- 꼭짓점: 기본형의 꼭짓점 (0,0)이 똑같이 평행이동하므로, 점 (p, q)가 됩니다.
- 축의 방정식: 기본형의 축 x=0이 x축 방향으로 p만큼 이동하므로, 직선 x = p가 됩니다.
표준형은 꼭짓점의 좌표를 바로 알 수 있어서 그래프를 그리거나 특징을 파악하기에 매우 편리한 형태랍니다!
🔩 일반형: y = ax2 + bx + c 그래프 (표준형으로 변신!)
개념정리 54-3: 표준형으로 바꿔서 생각하자!
이차함수의 일반형인 y = ax2 + bx + c (a \neq 0)는 식이 전개되어 있는 형태예요. 이 형태 그대로는 그래프의 꼭짓점이나 축을 바로 알기 어렵죠. 그래서 일반형은 표준형 y = a(x-p)2 + q 꼴로 변형해서 그래프의 특징을 파악해요.
변형하는 과정은 완전제곱식을 만드는 과정과 같아요:
y = ax2 + bx + c
= a(x2 + b⁄ax) + c
= a(x2 + b⁄ax + (b⁄2a)2 – (b⁄2a)2) + c
= a(x + b⁄2a)2 – a(b2⁄4a2) + c
= a(x + b⁄2a)2 – (b2 – 4ac)⁄4a
이 표준형으로부터 다음 특징을 알 수 있어요:
- 꼭짓점: (-b⁄2a, –(b2 – 4ac)⁄4a)
- 축의 방정식: 직선 x = –b⁄2a
또한, 일반형에서는 y절편(그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표)을 바로 알 수 있어요. x=0을 대입하면 y=c가 되므로, y절편은 c입니다.
꼭짓점 공식, 외워야 할까요? 🤔
일반형의 꼭짓점 좌표 (-b⁄2a, –(b2 – 4ac)⁄4a)를 통째로 외우기보다는, “y=ax2+bx+c를 y=a(x-p)2+q 꼴로 변형하여 푼다”는 과정을 기억하고 직접 변형하는 연습을 하는 것이 더 실전적이고 유용해요! 특히 축의 방정식 x = –b⁄2a는 자주 사용되니 기억해두면 좋습니다.
🧐 개념확인 문제: 이차함수 그래프 특징 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 이차함수의 그래프의 특징을 찾아봅시다!
다음 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, y절편을 구하고, 그래프의 개형을 그려보세요 (개형은 생략). (PDF 문제 활용)
- y = -2(x – 3)2 + 5
- y = 1⁄2x2 – 4x + 2
정답 및 해설:
-
y = -2(x – 3)2 + 5 (표준형)
a=-2, p=3, q=5 입니다.
- 꼭짓점의 좌표: (3, 5)
- 축의 방정식: x = 3
- y절편: x=0을 대입하면 y = -2(0-3)2+5 = -2(-3)2+5 = -2(9)+5 = -18+5 = -13. 따라서 y절편은 -13.
- 그래프 모양: a=-2 < 0이므로 위로 볼록한 포물선.
-
y = 1⁄2x2 – 4x + 2 (일반형)
표준형으로 변형합니다:
y = 1⁄2(x2 – 8x) + 2
= 1⁄2(x2 – 8x + 16 – 16) + 2 ((-8/2)2 = (-4)2 = 16)
= 1⁄2(x – 4)2 – 1⁄2(16) + 2
= 1⁄2(x – 4)2 – 8 + 2
= 1⁄2(x – 4)2 – 6
따라서 a=1⁄2, p=4, q=-6 입니다.
- 꼭짓점의 좌표: (4, -6)
- 축의 방정식: x = 4
- y절편: 원래 일반형 식에 x=0을 대입하면 y=2. 따라서 y절편은 2.
- 그래프 모양: a=1⁄2 > 0이므로 아래로 볼록한 포물선.
이차함수의 식의 형태에 따라 꼭짓점, 축, y절편 등을 찾는 방법을 익히면 그래프를 이해하고 그리는 데 큰 도움이 될 거예요! 👍
오늘은 이차함수의 그래프가 기본형, 표준형, 일반형 세 가지 형태로 표현되며, 각 형태마다 그래프의 모양, 꼭짓점, 축의 방정식, y절편 등의 특징을 어떻게 파악하는지 자세히 배웠습니다. 특히 일반형을 표준형으로 변형하여 꼭짓점을 찾는 과정은 매우 중요하니 꼭 연습해두세요! 이차함수의 그래프는 앞으로 배울 이차방정식과 이차부등식, 그리고 더 나아가 고등 수학의 다양한 분야에서 계속 등장하는 중요한 개념이랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차함수 그래프의 계수 부호를 결정하는 방법에 대해 알아보겠습니다! 🧐