두 수 α와 β를 근으로 하고, x²의 계수가 1인 이차방정식은 다음과 같이 세울 수 있어요.

(x – α)(x – β) = 0

이 식을 전개하면 근과 계수의 관계를 이용한 형태로 나타낼 수 있습니다:

x² – (α + β)x + αβ = 0

즉, x² – (두 근의 합)x + (두 근의 곱) = 0 꼴로 기억하면 편리해요!

만약 x²의 계수가 a (a \ne 0)라면, 위 식 전체에 a를 곱해주면 됩니다:

a(x – α)(x – β) = 0 또는 a{x² – (α + β)x + αβ} = 0

개념정리 50-1: 인수분해의 역발상과 근과 계수의 관계 활용!

어떤 이차방정식의 두 근이 α와 β라는 것은, 그 이차방정식을 인수분해했을 때 (x-\alpha)와 (x-\beta)를 인수로 갖는다는 뜻과 같아요. (단, 이차항의 계수가 1일 경우)

따라서 두 수 α, β를 근으로 하고 x²의 계수가 1인 이차방정식은 가장 간단하게 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

(x – α)(x – β) = 0

이 식의 좌변을 전개해 보면,

(x – α)(x – β) = x² – βx – αx + αβ = x² – (α + β)x + αβ

이므로, 결국 이차방정식은 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

x² – (두 근의 합)x + (두 근의 곱) = 0

이것이 바로 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식을 세우는 핵심 원리랍니다! 두 근의 합과 곱만 알면 x²의 계수가 1인 이차방정식을 바로 만들 수 있죠.

개념정리 50-2: x²의 계수 a를 곱해주기!

만약 두 수 α, β를 근으로 갖고, x²의 계수가 1이 아닌 어떤 상수 a (a \neq 0)인 이차방정식을 만들어야 한다면 어떻게 할까요?

방법은 간단해요! 일단 x²의 계수가 1인 이차방정식 x² – (α + β)x + αβ = 0을 만든 후, 이 식의 양변에 a를 곱해주면 된답니다.

그러면 다음과 같은 이차방정식을 얻을 수 있어요:

a\{x² – (α + β)x + αβ\} = 0

또는, 처음부터 a(x-\alpha)(x-\beta)=0 으로 시작해서 전개해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.