이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α (알파) 와 β (베타) 라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립해요.

• 두 근의 합: α + β = –^b⁄_a
• 두 근의 곱: αβ = ^c⁄_a
• 두 근의 차 (절댓값): |α – β| = ^{√(b2 – 4ac)}⁄_|a| (단, α, β가 실수일 때)
  (두 근의 차 공식은 √D / |a| 로 기억해도 좋아요! 여기서 D는 판별식 b²-4ac)

두 근의 합과 곱에 대한 관계는 두 근이 실근이든 허근이든 관계없이 항상 성립해요. 하지만 두 근의 차에 대한 공식은 두 근이 실수일 때 주로 의미 있게 사용된답니다.

개념정리 49-1: 근을 몰라도 합과 곱을 알 수 있다!

이차방정식의 근과 계수의 관계는 말 그대로 이차방정식의 근들(α, β)과 방정식의 계수들(a, b, c) 사이에 존재하는 특별한 수학적 관계를 의미해요. 이 관계를 이용하면 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도, 두 근의 합이나 곱, 그리고 차의 절댓값 등을 방정식의 계수들만으로 간단하게 알아낼 수 있답니다.

이것은 마치 요리 레시피만 보고도 완성된 요리의 대략적인 맛(예: 달콤함, 짭짤함)을 예상할 수 있는 것과 비슷하다고 할 수 있어요! 근과 계수의 관계는 이차방정식 관련 문제를 푸는 데 매우 유용하게 활용되며, 곱셈 공식의 변형과 함께 식의 값을 구하는 문제 등에서 자주 등장한답니다.

개념정리 49-2: 두 가지 유도 방법!

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근 α, β와 계수 a, b, c 사이의 관계는 다음 두 가지 방법으로 유도할 수 있어요.

방법 1: 근의 공식을 직접 이용하기

근의 공식에 의해 두 근은 α = ^{(-b + √(b2 – 4ac))}⁄_2a, β = ^{(-b – √(b2 – 4ac))}⁄_2a (또는 그 반대)로 주어지죠.

1. 두 근의 합 (α + β):

α + β = ^{(-b + √D)}⁄_2a + ^{(-b – √D)}⁄_2a = ^(-2b)⁄_2a = –^b⁄_a (여기서 D = b²-4ac)

2. 두 근의 곱 (αβ):

αβ = (^{(-b + √D)}⁄_2a) \cdot (^{(-b – √D)}⁄_2a) = ^{((-b)2 – (√D)2)}⁄_(2a)² = ^{(b2 – D)}⁄_4a²

= ^{(b2 – (b2-4ac))}⁄_4a² = ^(4ac)⁄_4a² = ^c⁄_a

3. 두 근의 차의 절댓값 (|α – β|), 근이 실수일 때:

|α – β| = |^{(-b + √D)}⁄_2a – ^{(-b – √D)}⁄_2a| = |^(2√D)⁄_2a| = ^√D⁄_|a| = ^√(b2-4ac)⁄_|a|

방법 2: 인수정리와 항등식의 성질 이용하기

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근이 α, β라면, 인수정리에 의해 이차식 ax² + bx + c는 (x-\alpha)와 (x-\beta)를 인수로 가져요. 이차항의 계수가 a이므로 다음과 같이 쓸 수 있죠.

ax² + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta)

우변을 전개하면:

a(x-\alpha)(x-\beta) = a(x² – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) = ax² – a(\alpha+\beta)x + a\alpha\beta

이제 원래 식 ax² + bx + c와 계수를 비교하면 (항등식의 성질 이용):

• x의 계수 비교: b = -a(\alpha+\beta) ⇒ α+\beta = –^b⁄_a
• 상수항 비교: c = a\alpha\beta ⇒ α&beta = ^c⁄_a

두 방법 모두 같은 결과를 얻을 수 있답니다!