046 이차방정식의 근의 판별: 판별식 D로 실근, 허근, 중근 파악하기! 🚦
안녕하세요, 수학의 패턴을 읽는 탐험가 친구들! 👋 이차방정식을 풀면 근이 나온다는 것을 배웠죠? 그런데 때로는 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도, 그 근이 실수인지 허수인지, 또는 서로 다른 두 개인지 아니면 하나(중근)인지 그 종류를 미리 알 수 있는 방법이 있다면 정말 편리하겠죠? 오늘 배울 판별식(Discriminant)이 바로 그 마법 같은 도구랍니다! 판별식의 부호만 살펴보면 이차방정식 근의 종류를 똑똑하게 판별할 수 있어요. 함께 그 비밀을 알아볼까요? 🔍
📝 핵심만정리: 판별식 D로 근의 종류 한눈에!
계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)에서, 판별식 D는 다음과 같이 정의돼요:
D = b2 – 4ac
이 판별식 D의 부호에 따라 근의 종류를 다음과 같이 판별할 수 있습니다:
- D > 0 : 서로 다른 두 실근을 가져요.
- D = 0 : 서로 같은 두 실근, 즉 중근을 가져요.
- D < 0 : 서로 다른 두 허근을 가져요.
특히, 이차방정식이 실근을 가질 조건은 D ≥ 0 입니다.
만약 일차항의 계수 b가 짝수 (b = 2b’)일 때는 짝수 판별식 D⁄4 = b’2 – ac 를 사용하면 계산이 더 간편해요!
🤔 판별식이란 무엇일까요? (b2 – 4ac)
개념정리 46-1: 근의 공식을 자세히 보면 답이 있다!
계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 근을 구하는 근의 공식을 다시 한번 떠올려 볼까요?
x = (-b ± √(b2 – 4ac))⁄2a
이 공식에서 근호(√) 안에 있는 식, 바로 b2 – 4ac가 근의 종류를 결정하는 아주 중요한 역할을 해요. 왜냐하면:
- b2 – 4ac > 0 이면, √(양수)는 0이 아닌 실수가 되므로, ± 때문에 서로 다른 두 실근이 나와요.
- b2 – 4ac = 0 이면, √0 = 0이 되므로, x = -b⁄2a라는 중근(서로 같은 두 실근)을 갖게 돼요.
- b2 – 4ac < 0 이면, √(음수)는 허수가 되므로 (i를 포함), 서로 다른 두 허근이 나와요.
이처럼 b2 – 4ac의 값의 부호에 따라 근의 종류를 판별할 수 있기 때문에, 이 식을 이차방정식의 판별식이라고 부르고, 기호로는 D (Discriminant의 첫 글자)로 나타냅니다.
짝수 공식의 판별식: D/4 💡
일차항의 계수 b가 짝수, 즉 b = 2b’일 때 사용하는 짝수 근의 공식은 x = (-b’ ± √(b’2 – ac))⁄a 였죠?
이때 근호 안의 식 b’2 – ac를 짝수 판별식이라고 하며, 원래 판별식 D = (2b’)2 – 4ac = 4(b’2 – ac)이므로 D⁄4 = b’2 – ac 로 나타내요. 짝수 공식을 쓸 때는 이 D/4의 부호로 근을 판별하면 계산이 더 간단해진답니다!
🚦 판별식 D의 부호와 근의 종류: 신호등처럼 명확하게!
개념정리 46-2: D > 0, D = 0, D < 0 세 가지 경우!
계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a \neq 0)의 판별식을 D = b2 – 4ac라고 할 때, D의 부호에 따른 근의 종류는 다음과 같이 명확하게 정리할 수 있어요.
-
D > 0 (양수)
→ 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가져요.
이차함수 y = ax2+bx+c의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나요. -
D = 0 (0)
→ 이차방정식은 서로 같은 두 실근 (중근)을 가져요.
이차함수 y = ax2+bx+c의 그래프는 x축과 한 점에서 만나요 (접한다). -
D < 0 (음수)
→ 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가져요. (이때 두 허근은 서로 켤레복소수 관계예요.)
이차함수 y = ax2+bx+c의 그래프는 x축과 만나지 않아요.
특히, 이차방정식이 “실근을 갖는다“는 조건은 D > 0 (서로 다른 두 실근) 또는 D = 0 (중근)인 경우를 모두 포함하므로, D \ge 0 과 같아요.
주의! 계수가 허수일 때는 판별식 사용 불가! ⚠️
판별식을 이용하여 근의 종류를 판별하는 것은 이차방정식의 계수 a, b, c가 모두 실수일 때만 정확하게 성립해요. 만약 계수 중에 허수가 있다면 판별식 D의 부호만으로는 근이 실근인지 허근인지 정확히 판별할 수 없답니다. (이 내용은 PDF 특강 047에서 더 자세히 다뤄요!)
🧐 개념확인 문제: 판별식으로 근의 종류 알아맞히기!
이제 배운 판별식을 이용해서 다음 이차방정식들의 근을 판별해 봅시다!
다음 이차방정식의 근을 판별하시오. (PDF 문제 변형)
- 2x2 – 3x + 2 = 0
- x2 – 8x + 16 = 0
- x2 – 2x – 5 = 0 (주어진 이차함수를 방정식으로 변경)
정답 및 해설:
-
2x2 – 3x + 2 = 0
a=2, b=-3, c=2이므로, 판별식 D = b2 – 4ac
D = (-3)2 – 4(2)(2) = 9 – 16 = -7
판별식 D = -7 < 0이므로, 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖습니다.
-
x2 – 8x + 16 = 0
일차항의 계수가 짝수(-8 = 2 \times -4)이므로 짝수 판별식 D/4 = b’2 – ac를 사용할 수 있어요. (a=1, b’=-4, c=16)
D/4 = (-4)2 – (1)(16) = 16 – 16 = 0
판별식 D/4 = 0이므로, 이 이차방정식은 중근 (서로 같은 두 실근)을 갖습니다.
(참고: 이 식은 (x-4)2=0으로 인수분해되기도 하죠!)
-
x2 – 2x – 5 = 0
일차항의 계수가 짝수(-2 = 2 \times -1)이므로 짝수 판별식 D/4 = b’2 – ac를 사용할 수 있어요. (a=1, b’=-1, c=-5)
D/4 = (-1)2 – (1)(-5) = 1 – (-5) = 1 + 5 = 6
판별식 D/4 = 6 > 0이므로, 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다.
판별식 D의 부호만 알면 근을 직접 구하지 않고도 근의 종류를 알 수 있다니, 정말 편리하죠? 특히 문제에서 “실근을 갖도록”, “중근을 갖도록”, “허근을 갖도록” 하는 조건을 물어볼 때 아주 유용하게 사용된답니다! 😉
오늘은 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도 그 종류를 판별할 수 있게 해주는 마법의 도구, 판별식 D = b2 – 4ac에 대해 배웠습니다. 판별식의 부호가 양수인지, 0인지, 음수인지에 따라 서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근 중 어떤 것을 갖는지 알 수 있었죠? 이 판별식은 앞으로 이차함수의 그래프와 x축의 관계를 파악하는 등 다양한 곳에서 활용될 예정이니 꼭 확실하게 익혀두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차방정식의 근과 계수 사이에 어떤 비밀스러운 관계가 있는지 알아보겠습니다! 🤫