항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이기 때문에, 양변의 모양이 같거나, 정리했을 때 같아져야 해요. 이로부터 다음과 같은 중요한 성질들이 나온답니다.

• 1. x에 대한 항등식의 성질:
  • ax + b = 0 이 x에 대한 항등식이면 ⇔ a = 0, b = 0
  • ax + b = a’x + b’ 이 x에 대한 항등식이면 ⇔ a = a’, b = b’
  • ax² + bx + c = 0 이 x에 대한 항등식이면 ⇔ a = 0, b = 0, c = 0
  • ax² + bx + c = a’x² + b’x + c’ 이 x에 대한 항등식이면 ⇔ a = a’, b = b’, c = c’
• 2. x, y에 대한 항등식의 성질:
  • ax + by + c = 0 이 x, y에 대한 항등식이면 ⇔ a = 0, b = 0, c = 0
  • ax + by + c = a’x + b’y + c’ 이 x, y에 대한 항등식이면 ⇔ a = a’, b = b’, c = c’

(여기서 a, b, c, a’, b’, c’는 모두 상수(보통 실수)예요. 기호 ⇔는 ‘서로 같은 뜻이다’, ‘필요충분조건이다’라는 의미랍니다.)

쉽게 말해, 항등식은 양변에서 같은 문자에 대한 동류항의 계수끼리 같고, 상수항끼리도 같아야 한다는 뜻이에요!

개념정리 14-1: 한 문자에 대한 항등식의 조건

어떤 등식이 특정 문자(예: x)에 대한 항등식이라고 한다면, 그 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립해야 해요. 이것이 가능하려면 어떤 조건이 필요할까요?

1. ax + b = 0 이 x에 대한 항등식일 조건

이 식이 x에 어떤 값을 넣어도 항상 0이 되려면, x의 값에 영향을 받지 않아야 해요. 그러기 위해서는 x 앞에 곱해진 a가 0이 되어야 x가 어떤 값이든 ax 부분이 0이 되겠죠? 그리고 나머지 b도 0이 되어야 전체 식이 0이 될 수 있어요.

따라서, ax + b = 0 이 x에 대한 항등식 ⇔ a=0 이고 b=0 입니다.

2. ax + b = a’x + b’ 이 x에 대한 항등식일 조건

이 등식의 모든 항을 한쪽으로 옮겨서 정리하면 (a-a’)x + (b-b’) = 0 꼴이 돼요. 이 식이 x에 대한 항등식이 되려면 바로 위에서 배운 것처럼 x의 계수와 상수항이 모두 0이 되어야 하죠.

따라서, a-a’ = 0 이고 b-b’ = 0 이어야 합니다. 즉, a=a’ 이고 b=b’ 입니다.

결국, 양변의 x항의 계수끼리 같고, 상수항끼리 같아야 한다는 의미예요!

이러한 원리는 ax² + bx + c = 0 이나 ax² + bx + c = a’x² + b’x + c’ 같은 2차식 형태의 항등식에도 똑같이 적용돼요. 각 차수의 계수끼리 비교해서 모두 같다고 놓으면 된답니다!

개념정리 14-2: 여러 문자에 대한 항등식의 조건

등식이 두 개 이상의 문자(예: x와 y)에 대한 항등식이라고 한다면, 그 문자들에 어떤 값을 대입해도 항상 성립해야 해요. 이 경우에도 각 문자에 대한 동류항의 계수가 같아야 합니다.

ax + by + c = 0 이 x, y에 대한 항등식 ⇔ a=0, b=0, c=0

ax + by + c = a’x + b’y + c’ 이 x, y에 대한 항등식 ⇔ a=a’, b=b’, c=c’

식을 한 문자에 대해 정리한 후, 그 문자에 대한 항등식의 성질을 적용하고, 다시 나머지 문자에 대한 항등식의 성질을 적용하는 방식으로 생각할 수도 있어요.