지수법칙 완전 정복: 거듭제곱 계산의 핵심 원리! 🚀💡
안녕하세요, 수학의 세계를 탐험하는 친구들! 👋 오늘은 아주 강력한 수학 도구 중 하나인 지수법칙에 대해 배울 거예요. 지수법칙을 알면 복잡해 보이는 거듭제곱 계산도 아주 간단하고 빠르게 할 수 있답니다. 마치 마법 주문처럼 말이죠! ✨ 그럼, 지수법칙의 세계로 함께 떠나볼까요?
먼저, 거듭제곱이 무엇인지 잠깐 복습해볼까요? an에서 아래에 있는 a를 밑, 오른쪽 위에 작게 쓰인 n을 지수라고 해요. 그리고 an은 a를 n번 곱했다는 뜻이죠! (여기서 n은 자연수예요.)
📝 핵심만정리: 다섯 가지 지수법칙!
a, b가 실수이고, m, n이 자연수일 때 다음과 같은 지수법칙들이 성립해요.
- 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈: am × an = am+n (지수끼리 더해요!)
- 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈 (a ≠ 0 일 때):
- m > n 이면: am ÷ an = am-n
- m = n 이면: am ÷ an = 1
- m < n 이면: am ÷ an = 1⁄an-m
- 거듭제곱의 거듭제곱: (am)n = amn (지수끼리 곱해요!)
- 곱의 거듭제곱 (지수의 분배 – 곱셈): (ab)n = anbn
- 분수의 거듭제곱 (지수의 분배 – 나눗셈): (a⁄b)n = an⁄bn (단, b ≠ 0)
이 다섯 가지 법칙만 잘 기억하면 거듭제곱 계산이 훨씬 쉬워진답니다!
🔍 지수법칙, 하나씩 파헤치기!
개념정리 5-1: 지수법칙 자세히 알아보기
1. 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈: am × an = am+n
밑이 같은 두 거듭제곱을 곱할 때는 지수끼리 더해주면 돼요. 왜 그럴까요?
x2 × x3 을 생각해봅시다.
x2 = x × x (x를 2번 곱함)
x3 = x × x × x (x를 3번 곱함)
따라서 x2 × x3 = (x × x) × (x × x × x) = x × x × x × x × x = x5
결국 지수 2와 3을 더한 2+3=5가 새로운 지수가 되었죠? 그래서 x2 × x3 = x2+3 = x5
2. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈: am ÷ an (단, a ≠ 0)
나눗셈은 곱셈과 달리 지수의 크기에 따라 결과가 세 가지 경우로 나뉘어요.
- 경우 1: 앞의 지수(m)가 뒤의 지수(n)보다 클 때 (m > n)
이때는 am ÷ an = am-n 이 돼요. (지수끼리 빼요!)x5 ÷ x2 = x5⁄x2 = (x×x×x×x×x)⁄(x×x) = x×x×x = x3
즉, x5-2 = x3
- 경우 2: 두 지수가 같을 때 (m = n)
이때는 am ÷ an = 1 이 돼요. (같은 수로 나누니 당연히 1이겠죠?)x3 ÷ x3 = x3⁄x3 = 1
- 경우 3: 앞의 지수(m)가 뒤의 지수(n)보다 작을 때 (m < n)
이때는 am ÷ an = 1⁄an-m 이 돼요. (분수 형태가 되고, 분모에서 지수끼리 빼요!)x2 ÷ x5 = x2⁄x5 = (x×x)⁄(x×x×x×x×x) = 1⁄(x×x×x) = 1⁄x3
즉, 1⁄x5-2 = 1⁄x3
참고: 지수 0과 음수 지수 (더 알아보기)
나중에 배우게 되지만, a0 = 1 (단, a ≠ 0) 그리고 a-n = 1⁄an 으로 정의하면, 지수의 나눗셈은 항상 am ÷ an = am-n 이라는 하나의 공식으로 간단히 표현할 수 있게 된답니다! 중학교 과정에서는 위 세 가지 경우로 나누어 기억하는 것이 일반적이에요.
3. 거듭제곱의 거듭제곱: (am)n = amn
거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 두 지수를 서로 곱해주면 돼요.
(x2)3 을 생각해봅시다. 이것은 x2을 3번 곱했다는 뜻이에요.
(x2)3 = x2 × x2 × x2
지수법칙 1번에 의해, x2+2+2 = x6 이 되죠.
결국 원래 지수 2와 3을 곱한 2×3=6이 새로운 지수가 되었어요. 그래서 (x2)3 = x2×3 = x6
4. 곱의 거듭제곱 (지수의 분배 – 곱셈): (ab)n = anbn
두 개 이상의 수나 문자가 곱해진 전체에 거듭제곱이 되어 있을 때는, 각각의 수나 문자에 지수를 분배해서 곱해줄 수 있어요.
(xy)3 을 생각해봅시다. 이것은 xy를 3번 곱했다는 뜻이에요.
(xy)3 = (xy) × (xy) × (xy)
곱셈의 교환법칙을 이용해 순서를 바꾸면, = (x×x×x) × (y×y×y) = x3y3
결국 지수 3이 x와 y 각각에 적용되었죠? 그래서 (xy)3 = x3y3
숫자가 포함된 예: (2x)3 = 23x3 = 8x3. 여기서 2에도 꼭 지수를 적용해야 해요!
5. 분수의 거듭제곱 (지수의 분배 – 나눗셈): (a⁄b)n = an⁄bn (단, b ≠ 0)
분수 전체에 거듭제곱이 되어 있을 때는 분자와 분모 각각에 지수를 분배해줄 수 있어요.
(x⁄y)2 를 생각해봅시다. 이것은 x⁄y를 2번 곱했다는 뜻이에요.
(x⁄y)2 = (x⁄y) × (x⁄y) = (x×x)⁄(y×y) = x2⁄y2
결국 지수 2가 분자 x와 분모 y 각각에 적용되었죠? 그래서 (x⁄y)2 = x2⁄y2
주의! 지수법칙 적용 시 흔한 실수들 🚫
- am × an 을 amn 으로 계산하는 실수 (덧셈인데 곱셈으로 착각!) ➔ 정답: am+n
- (am)n 을 am+n 으로 계산하는 실수 (곱셈인데 덧셈으로 착각!) ➔ 정답: amn
- (-2a)2 을 -2a2 으로 계산하는 실수 (괄호 안의 모든 것에 제곱을 적용해야!) ➔ 정답: (-2)2a2 = 4a2
각 법칙이 왜 그렇게 되는지 이해하면 실수를 줄일 수 있어요!
🧐 개념확인 문제: 지수법칙, 마스터했나요?
이제 배운 지수법칙을 사용해서 다음 식들을 간단히 해보세요!
다음 식을 간단히 하시오.
- -xy2 × 3x3y
- (-a3b)2 × (-2ab2)
- 4a2b × 3b2c ÷ (-2abc)
- (x2⁄y)3 × (-y2⁄x3)2
정답 및 해설:
-
-xy2 × 3x3y = (-1 × 3) × (x × x3) × (y2 × y)
= -3 × x1+3 × y2+1
= -3x4y3
-
(-a3b)2 × (-2ab2) = ((-1)2(a3)2b2) × (-2ab2)
= (1 \cdot a3×2b2) × (-2ab2) = (a6b2) × (-2ab2)
= (1 × -2) × (a6 × a) × (b2 × b2)
= -2 × a6+1 × b2+2
= -2a7b4
-
4a2b × 3b2c ÷ (-2abc) = (12a2b3c) ÷ (-2abc)
= (12a2b3c)⁄(-2abc) = (12⁄-2) × (a2⁄a) × (b3⁄b) × (c⁄c)
= -6 × a2-1 × b3-1 × 1
= -6ab2
-
(x2⁄y)3 × (-y2⁄x3)2 = ((x2)3⁄y3) × (((-1)y2)2⁄(x3)2)
= (x6⁄y3) × ((-1)2(y2)2⁄x6) = (x6⁄y3) × (1 \cdot y4⁄x6)
= (x6y4)⁄(y3x6)
이제 약분해요: x6끼리 약분되고, y4 ÷ y3 = y4-3 = y1 = y
= y
지수법칙을 정확히 이해하고 적용하는 연습을 충분히 하면, 어떤 복잡한 거듭제곱 계산도 자신 있게 해결할 수 있을 거예요! 🎉
오늘은 거듭제곱 계산을 쉽고 빠르게 할 수 있도록 도와주는 지수법칙에 대해 배웠습니다. 밑이 같을 때 곱셈은 지수의 합, 나눗셈은 지수의 차(경우에 따라 분수 또는 1), 거듭제곱의 거듭제곱은 지수의 곱, 그리고 곱이나 분수의 거듭제곱은 지수의 분배! 이 다섯 가지 법칙을 잘 기억하고 연습해서 지수 계산의 달인이 되어보세요! 다음 시간에도 재미있는 수학 이야기로 만나요! 안녕! 🤓