쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 ⑵
0706
대표 문제
위치의 그래프의 해석
풀이영상 있음
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위치의 그래프의 해석
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출제의도
이번엔 위치 그래프다 — 속도는 높이가 아니라 접선의 기울기
바로 앞 문항이 속도 그래프였기 때문에, 같은 모양의 그림을 보고 습관대로 읽으면 전부 틀립니다. x(t) 그래프에서 그래프의 높이는 위치, 접선의 기울기가 속도 v(t)=x'(t)입니다. 보기 네 개는 “속도의 최대”, “방향 전환”, “속도 0”, “원점에서의 거리”로 이 구분을 네 번 반복해서 묻습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림 위에 화살표부터
x(t) 그래프에서 올라가는 구간은 v>0(양의 방향), 내려가는 구간은 v<0(음의 방향), 봉우리와 골에서는 v=0입니다.
t=a는 봉우리, t=c는 골입니다. 여기서 속도가 얼마인지부터 확정하고 보기로 가세요.
t=a는 봉우리, t=c는 골입니다. 여기서 속도가 얼마인지부터 확정하고 보기로 가세요.
힌트 2 — ㄱ과 ㄴ의 함정
ㄱ: t=a는 극대이므로 x'(a)=0입니다. 0<t<a에서는 기울기가 양수였으니, t=a는 속도가 최대인 지점이 아니라 오히려 최소에 가깝습니다.
ㄴ: t=b는 그래프가 x축을 지나는 곳, 즉 원점을 통과하는 순간일 뿐입니다. a<t<c 내내 그래프가 내려가고 있다면 방향은 그대로입니다.
ㄴ: t=b는 그래프가 x축을 지나는 곳, 즉 원점을 통과하는 순간일 뿐입니다. a<t<c 내내 그래프가 내려가고 있다면 방향은 그대로입니다.
힌트 3 — ㄹ, “가장 멀리”의 기준
원점에서 떨어진 거리는 x(t)가 아니라 |x(t)|입니다.
0<t<d에서 위치의 최댓값은 2, 최솟값은 −3. |2|와 |−3|을 비교하세요. 부호에 끌려 t=a를 고르면 안 됩니다.
0<t<d에서 위치의 최댓값은 2, 최솟값은 −3. |2|와 |−3|을 비교하세요. 부호에 끌려 t=a를 고르면 안 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄷ, ㄹ
보기 판정 요약 — 무엇으로 읽었는가
ㄱ. 0<k<a에서 v(k)=x'(k)>0인데 v(a)=x'(a)=0이므로 t=a는 최대가 아님. 거짓
ㄴ. a<t<c 전 구간에서 x'(t)<0 → t=b에서는 음의 방향으로 계속 진행. 거짓
ㄷ. t=c는 극소이므로 x'(c)=0, 속도는 0. 참
ㄹ. 0<t<d에서 |x(t)|가 최대인 곳은 x=−3인 t=c. 참
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
위치 그래프를 속도 그래프처럼 읽는다
앞 문항과 그림 모양이 비슷해서 가장 많이 나오는 실수입니다. 세로축이 x(t)인지 v(t)인지를 문제에서 먼저 확인하고 시작하세요. -
x가 최대인 t=a에서 속도도 최대라고 본다
극대점에서 접선은 수평이므로 속도는 오히려 0입니다. “가장 높다”와 “가장 빠르다”는 전혀 다른 말입니다. -
그래프가 x축과 만나는 t=b를 방향 전환으로 착각한다
x(b)=0은 원점을 지난다는 뜻일 뿐입니다. 방향 전환은 x'(t)의 부호가 바뀌는 곳, 즉 그래프의 봉우리와 골에서 일어납니다. -
“원점에서 가장 멀다”를 x의 최댓값으로 푼다
거리는 |x(t)|입니다. 음수 쪽으로 크게 내려간 t=c가 정답이 되는 이유이고, 부호를 놓치면 t=a를 고르게 됩니다. -
t=c에서 속도가 0이니 “정지해 있다”로 단정한다
순간속도가 0일 뿐, 그 전후로 계속 움직이고 있습니다. ㄷ은 “속도가 0″이라고만 했으므로 참이지만, 문장이 “정지해 있다”였다면 판정이 달라집니다.