쎈미적분1 0661

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 방정식에의 활용

0661
난이도 중
서술형
두 곡선의 교점 개수
풀이영상 있음

두 곡선 y = −x³ + 4x² − 4x, y = x² − 4x + k 가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 k의 값을 구하시오.


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출제의도

교점 개수를 실근 개수로, 실근 개수를 극댓값 × 극솟값의 부호로 번역하라는 문제

두 곡선 문제처럼 보이지만 연립하는 순간 삼차방정식 하나만 남습니다. 이 단원의 핵심은 “교점 몇 개”라는 말을 “극값의 곱이 양수냐 0이냐 음수냐”로 바꿔 읽는 것이고, 이 문제는 그중 = 0인 경우입니다. 서술형이므로 그 번역 과정을 문장으로 남기는 것까지가 답안입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 두 곡선을 하나로
두 곡선의 교점은 두 식을 연립한 방정식의 실근입니다. −x³+4x²−4x = x²−4x+k 에서 −4x는 양변에서 사라집니다.
한쪽으로 몰고 최고차항이 양수가 되도록 −1을 곱하면 어떤 식이 남나요?
힌트 2 — “서로 다른 두 점”의 뜻
정리하면 x³ − 3x² + k = 0입니다. 삼차방정식의 실근이 서로 다른 두 개라는 건, 세 근 중 두 개가 겹쳤다는 뜻 — 즉 중근 1개 + 다른 실근 1개입니다.
삼차함수 그래프로 보면 극댓값과 극솟값 중 하나가 x축에 딱 닿는 상황이죠. 조건식을 부등호가 아니라 등호로 세워 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=x³−3x²+k 라 하면 f′(x)=3x²−6x=3x(x−2)이므로 x=0 또는 x=2에서 극값을 가집니다.
조건은 f(0)·f(2)=0. 각각 계산해 k에 대한 방정식을 세우고, 마지막에 양수 k라는 단서로 답을 하나만 남기세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 k = 4

쎈 미적분1 0661번 해설

더 안전한 길 — k를 분리해서 수평선으로 보기

x³−3x²+k=0 을 k = −x³+3x² 로 옮깁니다. g(x)=−x³+3x² 라 하면 g′(x)=−3x²+6x=−3x(x−2)이므로 극솟값 g(0)=0, 극댓값 g(2)=4.
y=g(x)와 수평선 y=k의 교점이 2개가 되는 건 k가 극값과 정확히 같을 때뿐이므로 k=0 또는 k=4. 양수 조건에서 k=4.
극값 부호를 따지다 헷갈리는 학생에게는 그래프를 그려 세는 이 방법이 실수가 적습니다.

서술형 채점 포인트 (배점 비율)

  1. 방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 함을 서술 — 20%
  2. f′(x)=0인 x의 값(x=0, 2)을 구함 — 30%
  3. f(0)f(2)=0에서 양수 k의 값을 구함 — 50%

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 이항할 때 부호를 흘린다
    −x³+4x²−4x −(x²−4x+k)=0 → −x³+3x²−k=0. 여기서 양변에 −1을 곱해 x³−3x²+k=0으로 만드세요. 최고차항이 음수인 채로 극값을 판정하면 극대·극소가 뒤바뀝니다.
  • “서로 다른 두 점”을 판별식으로 처리하려 든다
    삼차방정식에는 이차식처럼 쓰는 판별식이 없습니다. 실근 개수는 언제나 극댓값 × 극솟값의 부호로 판정합니다.
  • 두 점 조건과 세 점 조건을 뒤섞는다
    f(극대)f(극소) < 0 이면 서로 다른 세 점, = 0 이면 두 점, > 0 이면 한 점. 이 문제는 = 0 입니다.
  • k(k−4)=0에서 k=0까지 답으로 쓴다
    문제는 처음부터 양수 k를 물었습니다. k=4만 답이고, 답안에는 (∵ k>0)이라는 근거를 함께 적어야 감점이 없습니다.
  • 서술형인데 계산만 늘어놓는다
    채점은 ①실근 조건 명시 ②f′(x)=0의 해 ③k값 순서로 나뉩니다. “서로 다른 두 실근을 가져야 하므로”라는 문장 한 줄이 20%입니다.


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