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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 ― 방정식과 부등식
0660
유형 04 대표문제
두 그래프의 교점의 개수
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유형 04 대표문제
두 그래프의 교점의 개수
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문제를 읽자마자
출제의도
교점의 개수를 방정식의 실근의 개수로 번역하는 유형의 기본형
두 그래프의 교점 개수 = 방정식 f(x)=g(x)의 서로 다른 실근의 개수. 이 한 줄이 유형 04 전체를 관통하는 문장입니다. 곡선과 직선을 따로 그려 비교하려 들지 말고, 한쪽으로 몰아 f(x)=x³+6x²+9x−k=0으로 만든 뒤 “서로 다른 세 실근 ⟺ 극댓값×극솟값<0″을 적용하면 끝납니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림 대신 식으로
곡선과 직선을 각각 그려서 눈으로 세려고 하면 k가 움직이는 상황을 통제할 수 없습니다.
교점의 개수 = 방정식의 서로 다른 실근의 개수. x³+6x²=−9x+k를 한쪽으로 몰면 어떤 삼차방정식이 되나요?
교점의 개수 = 방정식의 서로 다른 실근의 개수. x³+6x²=−9x+k를 한쪽으로 몰면 어떤 삼차방정식이 되나요?
힌트 2 — 판정식 세우기
f(x)=x³+6x²+9x−k로 두면 f′(x)=3x²+12x+9=3(x+3)(x+1)이므로 극점은 x=−3, x=−1입니다.
서로 다른 세 실근을 가지려면 두 극값의 부호가 달라야 하므로 f(−3)f(−1)<0.
서로 다른 세 실근을 가지려면 두 극값의 부호가 달라야 하므로 f(−3)f(−1)<0.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−3)=−27+54−27−k=−k, f(−1)=−1+6−9−k=−4−k입니다.
−k(−4−k)<0의 양변에 −1을 두 번 곱해 k(k+4)<0으로 바꾸면, 이차부등식의 해가 바로 보입니다.
−k(−4−k)<0의 양변에 −1을 두 번 곱해 k(k+4)<0으로 바꾸면, 이차부등식의 해가 바로 보입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② −4 < k < 0
풀이영상
더 빠른 길 — k만 따로 떼어내 y=k와의 교점으로
x³+6x²=−9x+k에서 k를 오른쪽에 혼자 남기면 x³+6x²+9x=k. 즉 곡선 y=x³+6x²+9x와 가로직선 y=k의 교점 문제로 바뀝니다.
g(x)=x³+6x²+9x는 g′(x)=3(x+3)(x+1)이므로 극댓값 g(−3)=0, 극솟값 g(−1)=−4. 직선이 세 점에서 만나려면 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 하므로 −4<k<0. 부등식을 전개할 필요가 없고, k값이 바뀔 때 교점이 3개→2개→1개로 변하는 모습도 그림으로 한눈에 보입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
−9x를 옮길 때 부호를 흘린다
x³+6x²=−9x+k → x³+6x²+9x−k=0입니다. +9x가 되어야 f′(x)=3(x+3)(x+1)로 예쁘게 인수분해됩니다. 여기서 부호가 틀리면 극점부터 어긋납니다. -
부등호 방향을 반대로 잡는다
서로 다른 세 실근이면 극값의 곱이 음수, 한 실근과 두 허근이면 양수입니다. “세 점에서 만난다”를 봤으면 <0. -
−k(−4−k)<0을 그냥 전개하다 부호가 꼬인다
음수 인수 두 개를 한꺼번에 정리하세요. −k(−4−k)=k(4+k)이므로 k(k+4)<0. 해는 −4<k<0입니다. -
k=0, k=−4를 범위에 포함시킨다
등호가 성립하면 극값 중 하나가 0이 되어 접점이 생기고, 교점이 2개로 줄어듭니다. “서로 다른 세 점”이므로 등호는 반드시 제외. -
극댓값·극솟값을 뒤바꿔 −4<k<0 대신 0<k<4를 고른다
선택지 ③이 그 함정입니다. x=−3이 왼쪽 극대(값 0), x=−1이 오른쪽 극소(값 −4). 증감표를 한 줄만 그려도 방지됩니다.
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