쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 극한과 연속
0201
난이도 하
연속함수의 성질
풀이영상 있음
난이도 하
연속함수의 성질
풀이영상 있음
문제 풀기 전에
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두 함수 f(x) = 1/x, g(x) = x2 + 2에 대하여 다음 중 모든 실수 x에서 연속인 함수는?
- ① f(x) + g(x)
- ② f(x)g(x)
- ③ g(f(x))
- ④ f(g(x))
- ⑤ f(x) / g(x)
문제를 읽자마자
출제의도
f(x)=1/x의 x=0이 살아남는 선지를 골라내라는 문제
연속함수끼리의 합·차·곱·합성은 “정의된 구간에서” 연속일 뿐입니다. 이 문제의 승부처는 계산이 아니라, 다섯 선지를 각각 하나의 식으로 정리했을 때 분모가 0이 되는 실수 x가 남아 있는가 하나뿐입니다. g(x)=x²+2가 절대 0이 되지 않는다는 점을 눈치채면 3초 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)=1/x는 x=0에서 아예 정의되지 않습니다. 정의되지 않으면 연속을 따질 자격조차 없으므로 그 지점은 무조건 불연속입니다.
다섯 선지를 하나씩 한 개의 식으로 정리한 뒤, x=0을 대입할 수 있는지만 보세요.
다섯 선지를 하나씩 한 개의 식으로 정리한 뒤, x=0을 대입할 수 있는지만 보세요.
힌트 2 — 합성의 순서를 구별하기
③ g(f(x))와 ④ f(g(x))는 완전히 다른 함수입니다.
③은 g의 자리에 1/x를 넣는 것 → 1/x² + 2. 안쪽 f가 이미 x=0에서 막혀 있습니다.
④는 f의 자리에 x²+2를 넣는 것 → 1/(x²+2). 이 분모는 x에 무엇을 넣어도 0이 될 수 없습니다. 왜 그럴까요?
③은 g의 자리에 1/x를 넣는 것 → 1/x² + 2. 안쪽 f가 이미 x=0에서 막혀 있습니다.
④는 f의 자리에 x²+2를 넣는 것 → 1/(x²+2). 이 분모는 x에 무엇을 넣어도 0이 될 수 없습니다. 왜 그럴까요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
②는 약분해서 x + 2/x, ⑤는 1 / {x(x²+2)}. 두 식 모두 x가 분모에 그대로 남습니다.
①은 1/x + x² + 2로 애초에 1/x가 보입니다. 남은 것은 ④ 하나뿐이고, 근거는 x² ≥ 0이므로 x² + 2 ≥ 2 > 0입니다.
①은 1/x + x² + 2로 애초에 1/x가 보입니다. 남은 것은 ④ 하나뿐이고, 근거는 x² ≥ 0이므로 x² + 2 ≥ 2 > 0입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④
더 빠른 길 — 분모만 보기
다섯 선지는 모두 유리함수이고, 유리함수는 (분모)≠0인 모든 x에서 연속입니다. 그러니 각 식을 통분해 분모만 적어 보면 ① x, ② x, ③ x², ④ x²+2, ⑤ x(x²+2)입니다.
실수 범위에서 0이 될 수 없는 분모는 x²+2 하나뿐 → 답은 ④. 선지를 다 계산할 필요 없이 분모만 훑으면 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“모든 실수 x에서”라는 조건을 흘려 읽는다
①②③⑤도 각자의 정의역 안에서는 연속입니다. 문제가 요구한 것은 정의역이 실수 전체이면서 연속인 함수입니다. 이 한 줄을 놓치면 답이 여러 개로 보입니다. -
②에서 x + 2/x로 약분하고 x=0을 잊는다
f(x)g(x)는 애초에 f(x)가 정의되어야 정의됩니다. 약분한 뒤의 겉모양이 아니라, 원래 식의 정의역을 기준으로 판단하세요. -
g(f(x))와 f(g(x))의 순서를 바꿔 쓴다
안쪽 함수가 무엇인지부터 확정하세요. g(f(x))는 안쪽이 f=1/x라 x=0에서 이미 막히고, f(g(x))는 안쪽이 다항식이라 막히지 않습니다. -
⑤에서 분모의 x를 빠뜨린다
f(x)/g(x) = (1/x) ÷ (x²+2) = 1 / {x(x²+2)}입니다. 나눗셈을 하면서 앞의 1/x가 통째로 사라지는 실수가 가장 잦습니다. -
x²+2>0의 근거를 대지 못한다
서술형이라면 “x²≥0이므로 x²+2≥2>0″이라는 한 줄이 있어야 점수가 나옵니다. 눈으로 보면 당연하지만 답안에는 반드시 씁니다.
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