쎈 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 08 연속함수의 성질
대표문제
집중공략
개념 02-3
풀이영상
출제의도
교과서의 연속함수 성질은 “f와 g가 연속이면 f±g, fg, f/g(g≠0), 합성함수도 연속”입니다. 이 문제는 그 명제들을 거꾸로 뒤집어도 성립하는지를 묻습니다.
ㄱ은 뺄셈으로 되돌릴 수 있으니 참, ㄷ은 합성함수 정리 그대로라 참입니다. 문제는 ㄴ입니다. 곱을 되돌리려면 나눠야 하는데, 0으로는 나눌 수 없습니다.
즉 f(x)=0이라는 극단적인 f를 떠올릴 수 있는지가 이 문제의 유일한 승부처입니다. 반례 하나만 잡으면 5초, 못 잡으면 5분을 쓰게 되는 전형적인 보기 판별 문제입니다.
힌트
1ㄱ — g를 f로 표현해 보세요
f(x)+g(x)=h(x)라 두면 g(x)=h(x)−f(x)입니다.
h와 f가 모두 연속이고, 연속함수의 차는 연속이므로 g도 연속입니다. 새 문자 h로 이름을 붙이는 순간 성질을 그대로 적용할 수 있게 됩니다. ㄱ은 참.
2ㄴ — 같은 방법이 왜 막히는지 보세요
f(x)g(x)=h(x)라 두면 g(x)=h(x)/f(x)인데, 몫의 연속성에는 f(x)≠0이라는 단서가 붙습니다. 문제에는 그런 조건이 없습니다.
그렇다면 조건을 어기는 f를 만들면 됩니다. f를 항등적으로 0으로 잡으면 f(x)g(x)도 항상 0이라, g가 아무리 험해도 f와 fg는 연속입니다.
3ㄷ — 정의를 그대로 따라가면 됩니다
임의의 실수 a에서 g가 연속이므로 limx→a g(x)=g(a)입니다. 이 값을 b라 두면, f가 x=b에서 연속이므로
limx→a f(g(x)) = f(b) = f(g(a))
즉 f(g(x))는 x=a에서 연속입니다. a가 임의였으므로 실수 전체에서 연속. ㄷ은 참입니다.
해설
손글씨 해설 펼쳐 보기 ▾
이 유형에서 반례를 만드는 재료는 사실상 둘뿐입니다.
① f(x)=0 — 무엇을 곱해도 0이라 상대의 불연속을 통째로 지워 버립니다.
② 부호함수(x≥0이면 1, x<0이면 −1) — 딱 한 점에서만 끊긴 가장 단순한 불연속함수입니다.
ㄴ은 이 둘을 조합한 것이 전부입니다. 곱이 걸린 명제를 보면 먼저 0을 곱해 보는 습관이 시간을 아껴 줍니다.
cf(x), f±g, fg에는 아무 단서가 없지만 f/g에는 g(a)≠0이 붙습니다. 합성 (g∘f)(x)는 f가 x=a에서, g가 x=f(a)에서 연속이면 연속입니다.
보기를 판별할 때는 “이 명제가 나눗셈을 요구하는가”만 확인하면 참·거짓이 거의 갈립니다.
실수를 줄이는 전략
-
ㄴ을 ㄱ과 같은 논리로 참이라 답한다
가장 흔한 오답 ⑤로 가는 길입니다. 덧셈은 뺄셈이라는 안전한 역연산이 있지만, 곱셈의 역연산인 나눗셈에는 f(x)≠0이라는 단서가 붙습니다. 조건이 없으면 없는 대로 반례를 찾아야 합니다. -
ㄷ을 “합성은 위험하다”는 느낌으로 거짓 처리한다
합성함수가 불연속이 되는 사례는 f나 g 중 하나가 이미 불연속일 때 생깁니다. 둘 다 연속이면 합성도 반드시 연속입니다. 느낌이 아니라 정리로 판단하세요. -
반례를 찾을 때 g만 계속 바꾼다
ㄴ의 열쇠는 g가 아니라 f입니다. 불연속함수를 어떻게 고를지 고민하기 전에, f를 0으로 눌러 버릴 수 있는지부터 확인하세요. -
ㄱ에서 f와 g를 따로따로 판정하려 한다
주어진 것은 f와 f+g의 연속성이지 g의 정체가 아닙니다. f+g를 h라는 하나의 함수로 이름 붙이는 순간, g=h−f라는 차의 꼴이 보입니다. -
한 점에서 확인하고 “연속함수”라고 결론짓는다
ㄷ처럼 실수 전체에서의 연속을 주장할 때는 임의의 a를 잡고 시작해야 합니다. 특정 값 하나로 확인한 것은 반례가 될 수는 있어도 증명은 되지 못합니다.