쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0047
난이도 중
서술형
극한값의 존재조건
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극한값의 존재조건
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문제를 읽자마자
출제의도
“극한값이 존재한다”를 좌극한 = 우극한이라는 k의 방정식으로 옮겨 적는 문제
조각함수에서 극한이 문제되는 지점은 식이 갈라지는 x=2 하나뿐입니다. 양쪽 식에 각각 2를 넣어 k의 식 두 개를 만들고, 같다고 놓으면 이차방정식이 나옵니다. 서술형이므로 두 극한을 각각 세운 과정과 등식을 세운 근거가 그대로 점수입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 어디를 볼지부터 정하기
두 조각은 각각 다항함수라서 자기 구간 안에서는 극한이 언제나 존재합니다. 확인이 필요한 곳은 식이 바뀌는 x=2 한 곳뿐입니다.
그 지점에서 극한값이 존재할 조건을 한 문장으로 쓰면 무엇인가요?
그 지점에서 극한값이 존재할 조건을 한 문장으로 쓰면 무엇인가요?
힌트 2 — 양쪽을 k의 식으로
x>2에서는 kx−5를 쓰므로 우극한은 2k−5.
x<2에서는 (x−k)2을 쓰므로 좌극한은 (2−k)2.
극한값이 존재하려면 이 둘이 같아야 합니다. 등식을 세워 보세요.
x<2에서는 (x−k)2을 쓰므로 좌극한은 (2−k)2.
극한값이 존재하려면 이 둘이 같아야 합니다. 등식을 세워 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
2k−5=(2−k)2을 전개하면 2k−5=k2−4k+4, 정리하면 k2−6k+9=0입니다.
좌변이 완전제곱식으로 인수분해되는지 확인하세요. (k−3)2=0이면 근은 몇 개인가요?
좌변이 완전제곱식으로 인수분해되는지 확인하세요. (k−3)2=0이면 근은 몇 개인가요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 k = 3
서술형 채점기준 — 어디서 점수가 나뉘는가
① 우극한을 k에 대한 식으로 나타내기 20% ② 좌극한을 k에 대한 식으로 나타내기 20% ③ k에 대한 방정식 세우기 40% ④ k의 값 구하기 20%
배점이 가장 큰 곳은 답이 아니라 등식을 세우는 단계입니다. “극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로”라는 근거 문장을 반드시 적으세요. 답만 k=3이라고 쓰면 20%입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
등호(x≥2)가 붙은 쪽 식만 쓰고 끝낸다
극한은 x=2에 다가가는 값이라 등호 포함 여부와 무관합니다. 함숫값 f(2)를 구하는 문제가 아니므로, 양쪽 식에 각각 2를 대입해 두 개의 값을 만들어야 합니다. -
(2−k)2 전개에서 부호를 흘린다
(2−k)2=k2−4k+4입니다. 2k−5를 오른쪽으로 넘길 때 −4k−2k=−6k, 4+5=9. 여기서 k2−2k−1 같은 식이 나왔다면 이항 부호를 다시 보세요. -
(k−3)2=0을 k=±3으로 푼다
제곱이 0이 되는 수는 0뿐이므로 k−3=0, 즉 k=3 하나입니다. k2=9와 (k−3)2=0을 섞지 마세요. -
중근이라서 답이 없거나 조건 부족이라고 판단한다
판별식이 0이어도 실근은 존재합니다. 중근은 “조건을 만족하는 k가 정확히 하나”라는 뜻이며, 이 문제에서는 정상적인 답입니다. -
서술형인데 과정을 생략하고 답만 적는다
좌·우극한을 각각 쓴 두 줄과 “따라서 두 값이 같아야 하므로”라는 근거 줄이 배점의 80%입니다. 계산은 맞고 서술이 빠져 점수를 잃는 전형적인 유형입니다.