쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0046
난이도 중
그래프와 극한값의 존재
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문제를 읽자마자
출제의도
극한값은 점의 높이가 아니라 양쪽에서 다가가는 높이로 판정하라는 문제
계산할 것이 하나도 없습니다. 좌극한과 우극한이 같으면 존재, 다르면 존재하지 않음 — 이 한 문장만 그래프 위에서 세 번 적용하면 끝납니다. 출제자가 노리는 것은 까만 점(함숫값)과 뚫린 점(○)에 눈이 끌려 극한값을 잘못 읽는 학생입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 극한값이 얼마인지가 아니라 있는지만 묻습니다. 값을 구하려 들지 마세요.
손가락으로 곡선을 따라 왼쪽에서 오게 하고, 다시 오른쪽에서 오게 해서 도착 높이가 같은지만 보면 됩니다. 이때 까만 점은 잠시 손으로 가리세요.
손가락으로 곡선을 따라 왼쪽에서 오게 하고, 다시 오른쪽에서 오게 해서 도착 높이가 같은지만 보면 됩니다. 이때 까만 점은 잠시 손으로 가리세요.
힌트 2 — ㄱ과 ㄴ은 왜 갈리는가
x=1: 왼쪽 곡선이 도착하는 높이는 −2, 오른쪽 곡선이 출발하는 높이는 0. 두 값이 다릅니다.
x=2: 왼쪽에서 와도 1, 오른쪽에서 가도 1. 뚫린 점(○)이지만 다가가는 높이는 양쪽 모두 1입니다.
여기서 ㄱ과 ㄴ의 참·거짓이 갈립니다.
x=2: 왼쪽에서 와도 1, 오른쪽에서 가도 1. 뚫린 점(○)이지만 다가가는 높이는 양쪽 모두 1입니다.
여기서 ㄱ과 ㄴ의 참·거짓이 갈립니다.
힌트 3 — ㄷ의 부등호를 다시 보기
ㄷ의 범위는 −1<a<1입니다. 양 끝의 a=−1과 a=1은 포함되지 않습니다.
이 열린 구간 안에서 그래프는 끊긴 곳 없이 이어져 있으므로, 어떤 a를 잡아도 좌·우 도착 높이가 같습니다. 문제가 되는 x=1이 범위에서 빠져 있다는 점이 이 명제의 전부입니다.
이 열린 구간 안에서 그래프는 끊긴 곳 없이 이어져 있으므로, 어떤 a를 잡아도 좌·우 도착 높이가 같습니다. 문제가 되는 x=1이 범위에서 빠져 있다는 점이 이 명제의 전부입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄴ, ㄷ
30초 판정법 — 끊긴 곳만 찍는다
그래프 문제에서 극한값이 문제가 되는 지점은 곡선이 끊긴 x좌표뿐입니다. 이 그래프에서는 x=1, x=2 두 곳입니다.
먼저 그 두 곳만 좌·우로 확인해 두면(x=1은 −2와 0으로 불일치, x=2는 1과 1로 일치), ㄱ·ㄴ은 즉시 판정되고 ㄷ은 “문제되는 x=1이 범위에 들어 있나?”만 보면 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
함숫값과 극한값을 같은 것으로 본다
x=2에서 함숫값은 까만 점의 높이지만, 극한값은 양쪽에서 다가가는 높이인 1입니다. ㄴ은 극한값을 물었으므로 참. 두 개념은 아예 다른 질문입니다. -
뚫린 점(○)이 보이면 극한값도 없다고 판단한다
○는 “그 점에서의 함숫값이 그 높이가 아니다”라는 표시일 뿐, 극한과는 무관합니다. ○ 쪽으로 곡선이 다가가고 있다면 그 높이가 곧 극한값입니다. -
ㄱ에서 한쪽만 보고 넘어간다
x=1의 오른쪽만 보면 0으로 깔끔하게 존재하는 것처럼 보입니다. 왼쪽은 −2로 향합니다. 극한 존재는 반드시 양쪽을 모두 확인한 뒤에 판정하세요. -
ㄷ에서 a=1까지 포함해 생각한다
범위는 −1<a<1인 열린 구간입니다. 반례로 삼고 싶은 x=1은 애초에 범위 밖입니다. 부등호가 ≤인지 <인지부터 확인하세요. -
정의역의 끝점을 일반적인 점처럼 다룬다
이 함수의 정의역은 −1≤x≤3입니다. x=−1에서는 왼쪽이 아예 없어 우극한만 존재합니다. ㄷ이 a=−1을 빼놓은 이유가 바로 이것입니다.
“쎈미적분1 0046”에 대한 1개의 생각