쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
535번 · \((n-1)x^2-2x+1=0\)의 실근 개수 \(f(n)\) — \(n=1\) 일차방정식 경우 분류 서술형
— \(n=1\)이면 이차방정식이 아닌 일차방정식! 경우 분류 필수
🔥 C단계 고난도✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (n=1 경우 분류 + 판별식 분석)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 n=1이면 −2x+1=0 (일차) → f(1)=1
- 📐 n≠1이면 D/4=1−(n−1)=2−n으로 판별 → f(0)=2, f(2)=1, f(3)=0
- 🎯 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=2+1+1+0=4
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
정수 \(n\)에 대하여 방정식 \((n-1)x^2-2x+1=0\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때,
\(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\)의 값을 구하는 서술형 고난도 문제입니다.
💡 핵심 주의사항 — n=1이면 이차방정식이 아닙니다!
\(n=1\)이면 \((1-1)x^2-2x+1=0 \implies -2x+1=0\)
→ 일차방정식! → 근의 개수: 1개
\(n=1\)이면 \((1-1)x^2-2x+1=0 \implies -2x+1=0\)
→ 일차방정식! → 근의 개수: 1개
✏️ 각 n값별 분석
1
n=1 — 일차방정식
\(-2x+1=0 \implies x=\dfrac{1}{2}\)
\[f(1)=1\]
\(-2x+1=0 \implies x=\dfrac{1}{2}\)
\[f(1)=1\]
2
n≠1 — 이차방정식, D/4 분석
\[D/4 = (-1)^2-(n-1)\cdot1 = 1-(n-1) = 2-n\]
\[D/4 = (-1)^2-(n-1)\cdot1 = 1-(n-1) = 2-n\]
| n | D/4=2−n | 부호 | 실근 개수 | f(n) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 2−0=2 | >0 | 서로 다른 두 실근 | 2 |
| 2 | 2−2=0 | =0 | 중근 (1개) | 1 |
| 3 | 2−3=−1 | <0 | 실근 없음 | 0 |
3
합 계산
\[f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 2+1+1+0 = 4\]
\[f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 2+1+1+0 = 4\]
정답 : 4
✍️ 서술형 채점 포인트
① n=1일 때 일차방정식임을 명시하고 f(1)=1 도출 (2점)
② n≠1일 때 D/4=2−n 공식 설정 (1점)
③ n=0: D/4=2>0 → f(0)=2 (1점)
④ n=2: D/4=0 → f(2)=1 (1점)
⑤ n=3: D/4=−1<0 → f(3)=0 (1점)
⑥ 합 = 4 최종 답 (1점)
② n≠1일 때 D/4=2−n 공식 설정 (1점)
③ n=0: D/4=2>0 → f(0)=2 (1점)
④ n=2: D/4=0 → f(2)=1 (1점)
⑤ n=3: D/4=−1<0 → f(3)=0 (1점)
⑥ 합 = 4 최종 답 (1점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
최고차계수에 n이 포함된 방정식 경우 분류 루틴
① 최고차계수=0이 되는 n값 먼저 확인 → 차수 달라짐!
② 최고차계수≠0인 나머지 경우 → 판별식으로 실근 개수 분류
③ 각 n 값마다 f(n)을 표로 정리
① 최고차계수=0이 되는 n값 먼저 확인 → 차수 달라짐!
② 최고차계수≠0인 나머지 경우 → 판별식으로 실근 개수 분류
③ 각 n 값마다 f(n)을 표로 정리
⚠️ 이런 실수 조심!
- n=1일 때 f(1)=0이라고 쓰는 실수 — 일차방정식은 근이 1개! f(1)=1
- 이차방정식의 D/4를 \((-2)^2-(n-1)=4-(n-1)\)로 잘못 계산 — \(ax^2+bx+c\)에서 D/4=\((b/2)^2-ac=1-(n-1)\)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
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