쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
490번 · \(|\alpha-\beta|=\sqrt{5}\) 조건으로 \(k\) 구하기
— \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) 공식 활용!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (|α-β| 조건 처리 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 (α-β)² = (α+β)²-4αβ 공식으로 k 방정식 수립
- 📐 |α-β|² = 5에서 (α-β)² = 5 설정
- ⚠️ 실근 존재 조건(D≥0)도 함께 확인!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-(k+2)x+3k=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 \(|\alpha-\beta|=\sqrt{5}\)일 때, 실수 \(k\)를 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 공식
\[(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\] \[|\alpha-\beta|=\sqrt{5} \implies (\alpha-\beta)^2=5\]
\[(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\] \[|\alpha-\beta|=\sqrt{5} \implies (\alpha-\beta)^2=5\]
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=k+2\), \(\quad\alpha\beta=3k\)
\(\alpha+\beta=k+2\), \(\quad\alpha\beta=3k\)
2
(α-β)²=5 설정
\[(k+2)^2-4(3k)=5\] \[k^2+4k+4-12k-5=0\] \[k^2-8k-1=0 \implies k=4\pm\sqrt{17}\]
\[(k+2)^2-4(3k)=5\] \[k^2+4k+4-12k-5=0\] \[k^2-8k-1=0 \implies k=4\pm\sqrt{17}\]
3
실근 존재 조건 확인
D/4=(α-β)²의 부호: \(|\alpha-\beta|=\sqrt{5}>0\)이므로 두 근이 서로 다른 실근이어야 합니다.
D=\((k+2)^2-4(3k)=5>0\) ✅ (이미 만족)
D/4=(α-β)²의 부호: \(|\alpha-\beta|=\sqrt{5}>0\)이므로 두 근이 서로 다른 실근이어야 합니다.
D=\((k+2)^2-4(3k)=5>0\) ✅ (이미 만족)
정답 : \(k=4+\sqrt{17}\) 또는 \(k=4-\sqrt{17}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
|α-β| 조건 처리 2단계
① \(|\alpha-\beta|=t\) → \((\alpha-\beta)^2=t^2\)
② \((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=t^2\)에 근과 계수 대입 → \(k\) 방정식 풀기
① \(|\alpha-\beta|=t\) → \((\alpha-\beta)^2=t^2\)
② \((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=t^2\)에 근과 계수 대입 → \(k\) 방정식 풀기
⚠️ 이런 실수 조심!
- |α-β|=√5에서 (α-β)=√5로만 처리하는 실수 — 절댓값이므로 양음 모두 고려, 그러나 제곱하면 한 번에 해결!
- 실근 조건 D≥0 추가 확인 필요 시 놓치는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
🖼️ 교재 해설 이미지
