쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
484번 · \(|x^2-4x|=1\)의 네 근 → \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\delta}\)
— 절댓값 방정식을 두 경우로 나눠 각각 역수의 합 계산!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
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- 📹 풀이 영상 (절댓값 방정식 + 역수의 합)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 |x²−4x|=1 → ① x²−4x=1 (근 α,β) ② x²−4x=−1 (근 γ,δ)
- 📐 1/α+1/β=(α+β)/(αβ)=4/(−1)=−4, 1/γ+1/δ=4/1=4
- 🎯 합=−4+4=0
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
방정식 \(|x^2-4x|=1\)의 네 근을 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\)라 할 때,
\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}+\dfrac{1}{\delta}\)의 값을 구하는 문제입니다.
🗝️ 절댓값 방정식 경우 분류
\(|A|=k\) (\(k>0\)) ⟺ \(A=k\) 또는 \(A=-k\)
\(|A|=k\) (\(k>0\)) ⟺ \(A=k\) 또는 \(A=-k\)
✏️ 단계별 풀이
1
경우 (ⅰ): x²−4x=1의 두 근 α, β
\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=-1\)
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{-1}=-4\]
\(\alpha+\beta=4\), \(\alpha\beta=-1\)
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{4}{-1}=-4\]
2
경우 (ⅱ): x²−4x=−1의 두 근 γ, δ
\(\gamma+\delta=4\), \(\gamma\delta=1\)
\[\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\delta}=\frac{\gamma+\delta}{\gamma\delta}=\frac{4}{1}=4\]
\(\gamma+\delta=4\), \(\gamma\delta=1\)
\[\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\delta}=\frac{\gamma+\delta}{\gamma\delta}=\frac{4}{1}=4\]
3
합산
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\delta}=-4+4=0\]
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\delta}=-4+4=0\]
정답 : ③ 0
🧠 외워두면 좋은 패턴
역수의 합 공식
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\]
→ α, β가 방정식의 근이면 합·곱을 바로 대입!
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\]
→ α, β가 방정식의 근이면 합·곱을 바로 대입!
⚠️ 이런 실수 조심!
- |x²−4x|=1을 하나의 방정식으로만 처리하는 실수 — 반드시 ±1 두 경우 분리!
- x²−4x=−1에서 αβ=−1이라고 착각 — x²−4x+1=0이므로 곱=+1!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
