쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
480번 · \(4x^2-(3a-5)x+a^2-5a+2=4(x+k)^2\) — \(a\)와 \(k\) 결정 서술형
— \(D=0\)으로 \(a=7\) (\(a>1\)) → \(4(x-2)^2\)에서 \(k=-2\) → \(a-k=9\)!
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (완전제곱식 + 미정계수 결정 서술형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 D=(3a−5)²−16(a²−5a+2)=0 → 7a²−50a+7=0 → a=7(a>1)
- 📐 4x²−16x+16=4(x−2)²이므로 k=−2
- 🎯 a−k=7−(−2)=9
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📌 문제 핵심 파악
이차식 \(4x^2-(3a-5)x+a^2-5a+2\)가 \(4(x+k)^2\)으로 인수분해될 때 (단 \(a>1\)),
\(a-k\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
D=0으로 a 결정
\[D = (3a-5)^2-4\cdot4\cdot(a^2-5a+2) = 0\] \[9a^2-30a+25-16a^2+80a-32=0\] \[-7a^2+50a-7=0 \implies 7a^2-50a+7=0\] \[(7a-1)(a-7)=0 \implies a=\frac{1}{7}\text{ 또는 }a=7\] \(a>1\)이므로 \(a=7\)
\[D = (3a-5)^2-4\cdot4\cdot(a^2-5a+2) = 0\] \[9a^2-30a+25-16a^2+80a-32=0\] \[-7a^2+50a-7=0 \implies 7a^2-50a+7=0\] \[(7a-1)(a-7)=0 \implies a=\frac{1}{7}\text{ 또는 }a=7\] \(a>1\)이므로 \(a=7\)
2
a=7 대입하여 k 결정
\[4x^2-(21-5)x+(49-35+2) = 4x^2-16x+16 = 4(x-2)^2\] 따라서 \(4(x+k)^2\)에서 \(k=-2\)
\[4x^2-(21-5)x+(49-35+2) = 4x^2-16x+16 = 4(x-2)^2\] 따라서 \(4(x+k)^2\)에서 \(k=-2\)
3
최종 계산
\[a-k=7-(-2)=9\]
\[a-k=7-(-2)=9\]
정답 : \(a-k=9\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① D=(3a−5)²−16(a²−5a+2)=0 전개 (2점)
② 7a²−50a+7=0 정리 (1점)
③ a>1 조건으로 a=7 선택 (2점)
④ k=−2 결정 (1점)
⑤ a−k=9 (1점)
② 7a²−50a+7=0 정리 (1점)
③ a>1 조건으로 a=7 선택 (2점)
④ k=−2 결정 (1점)
⑤ a−k=9 (1점)
⚠️ 이런 실수 조심!
- a=1/7을 답으로 쓰는 실수 — a>1 조건에서 a=7만 가능!
- 4(x+k)²=4x²+8kx+4k² 형태와 비교 — −16x→8k=−16→k=−2
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
