쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
472번 · \(\sqrt{b}/\sqrt{a}=-\sqrt{b/a}\) 부호 조건 → 보기 판별
— 부호 결정이 먼저! \(a<0\), \(b>0\) 도출 후 각 판별식 계산
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (√ 부호 조건 분석 + 판별식 보기)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 \(\sqrt{b}/\sqrt{a}=-\sqrt{b/a}\)에서 \(a<0\), \(b>0\) 도출하는 방법
- 📊 ㄱ~ㄹ 각 보기의 판별식 부호 판별표
- ⚠️ \(\sqrt{\cdot}\)의 정의역 조건과 부호 처리
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
0이 아닌 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)가 성립할 때,
항상 서로 다른 두 실근을 갖는 이차방정식을 보기에서 고르는 문제입니다.
🔑 부호 조건 분석
\(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = -\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)에서
좌변이 존재하려면: \(b \geq 0\), \(a > 0\) — 그런데 이 경우 좌변 ≥ 0이고 우변 ≤ 0이므로 둘 다 0만 가능
→ \(a > 0\)이면 성립 불가, 따라서 \(a < 0\) (허수부 활용 불가, 실수 문맥에서)
실제로는 \(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\)에서 \(a < 0\)이면 \(\sqrt{a}\)가 허수 — 이 문제는 실수 맥락에서 부호만 고려
→ \(a < 0\), \(b > 0\) 결론 (풀이 영상 참조)
\(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = -\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)에서
좌변이 존재하려면: \(b \geq 0\), \(a > 0\) — 그런데 이 경우 좌변 ≥ 0이고 우변 ≤ 0이므로 둘 다 0만 가능
→ \(a > 0\)이면 성립 불가, 따라서 \(a < 0\) (허수부 활용 불가, 실수 문맥에서)
실제로는 \(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\)에서 \(a < 0\)이면 \(\sqrt{a}\)가 허수 — 이 문제는 실수 맥락에서 부호만 고려
→ \(a < 0\), \(b > 0\) 결론 (풀이 영상 참조)
💡 핵심: \(a<0\), \(b>0\) 조건으로 각 보기의 \(D\) 부호 결정!
\(a<0\)이면 \(-a>0\), \(4b>0\) 등을 이용해 판별식의 부호를 확정합니다.
\(a<0\)이면 \(-a>0\), \(4b>0\) 등을 이용해 판별식의 부호를 확정합니다.
✏️ 각 보기 판별
| 보기 | 판별식 | \(a<0,b>0\) 적용 | 결론 |
|---|---|---|---|
| ㄱ. \(x^2-ax+b=0\) | \(D=a^2-4b\) | \(a^2>0\), 그러나 \(-4b<0\) → 부호 불확실 | 판별 불가 |
| ㄴ. \(x^2+ax-b=0\) | \(D=a^2+4b>0\) | \(a^2\geq0\), \(4b>0\) → 합 \(>0\) | 항상 두 실근 ○ |
| ㄷ. \(-ax^2+bx+1=0\) | \(D=b^2+4(-a)=b^2-4a\) | \(b^2>0\), \(-4a>0\) → 합 \(>0\) | 항상 두 실근 ○ |
| ㄹ. \(x^2+2ax+b=0\) | \(D/4=a^2-b\) | \(a^2>0\), \(-b<0\) → 부호 불확실 | 판별 불가 |
정답 : ④ ㄴ, ㄷ
🧠 외워두면 좋은 패턴
부호 조건 → 판별식 부호 결정 흐름
① 주어진 식에서 \(a\), \(b\)의 부호 조건을 먼저 결정
② 각 보기의 판별식 \(D\)를 계산
③ \(a<0 \Rightarrow -a>0\), \(b>0 \Rightarrow -b<0\) 등을 활용해 부호 판별
④ 두 항의 합이 항상 양수임을 확인할 수 있는 경우만 “항상 두 실근”
① 주어진 식에서 \(a\), \(b\)의 부호 조건을 먼저 결정
② 각 보기의 판별식 \(D\)를 계산
③ \(a<0 \Rightarrow -a>0\), \(b>0 \Rightarrow -b<0\) 등을 활용해 부호 판별
④ 두 항의 합이 항상 양수임을 확인할 수 있는 경우만 “항상 두 실근”
⚠️ 이런 실수 조심!
- 부호가 서로 반대인 두 항의 합은 부호를 단정할 수 없음 — \(a^2-4b\)처럼 양수+음수는 판별 불가.
- \(-ax^2+bx+1\)에서 판별식을 \(b^2-4\cdot(-a)\cdot1=b^2+4a\)로 계산하는 실수 — 최고차 계수가 \(-a\)이므로 \(D=b^2-4(-a)(1)=b^2+4(-a)\cdot(-1)=b^2-4a\)에서 \(-4a>0\).
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
