쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
468번 · \(k\)에 관계없이 항상 중근 — 항등식 조건
— \(D=0\)이 \(k\)에 관한 항등식 → \(k^2\)계수·1차계수·상수 모두 0
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (항등식 + 중근 조건 복합 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 “항상 중근” = D를 k의 식으로 정리 후 항등식 조건
- 📐 D를 k에 대해 정리 → k²·k·상수 계수 각각 0
- ⚠️ D 전개 계산 실수 방지
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+(a+2k)x+k^2-2k-b=0\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a+b\)를 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 아이디어
“모든 \(k\)에 대해 중근” = \(D=0\)이 \(k\)에 관한 항등식
→ \(D\)를 \(k\)에 대한 다항식으로 정리하면
→ \(k^2\)의 계수 = 0, \(k\)의 계수 = 0, 상수항 = 0
“모든 \(k\)에 대해 중근” = \(D=0\)이 \(k\)에 관한 항등식
→ \(D\)를 \(k\)에 대한 다항식으로 정리하면
→ \(k^2\)의 계수 = 0, \(k\)의 계수 = 0, 상수항 = 0
✏️ 단계별 풀이
1
판별식 \(D\) 계산
\[D = (a+2k)^2 – 4(k^2-2k-b)\] \[= a^2+4ak+4k^2 – 4k^2+8k+4b\] \[= (4a+8)k + (a^2+4b)\]
\[D = (a+2k)^2 – 4(k^2-2k-b)\] \[= a^2+4ak+4k^2 – 4k^2+8k+4b\] \[= (4a+8)k + (a^2+4b)\]
2
\(D=0\)이 모든 \(k\)에 대해 항등식 조건 적용
\[(4a+8)k + (a^2+4b) = 0 \quad\text{(모든 }k\text{에 대해)}\] \[\begin{cases} 4a+8=0 \\ a^2+4b=0 \end{cases}\]
\[(4a+8)k + (a^2+4b) = 0 \quad\text{(모든 }k\text{에 대해)}\] \[\begin{cases} 4a+8=0 \\ a^2+4b=0 \end{cases}\]
3
\(a\), \(b\) 결정 및 합 계산
\(4a+8=0\) → \(a=-2\)
\((-2)^2+4b=0\) → \(4+4b=0\) → \(b=-1\)
\[a+b = -2+(-1) = -3\]
\(4a+8=0\) → \(a=-2\)
\((-2)^2+4b=0\) → \(4+4b=0\) → \(b=-1\)
\[a+b = -2+(-1) = -3\]
정답 : ③ \(a+b = -3\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
“k에 관계없이 중근” 문제 3단계
① \(D\)를 \(k\)에 대한 식으로 정리
② \(D=0\)이 모든 \(k\)에 대해 성립 = 항등식 → 각 차수의 계수 = 0
③ 연립방정식으로 \(a\), \(b\) 결정
이 패턴은 450번의 “k에 관계없이 항상 근을 가짐” 문제와 같은 원리입니다!
① \(D\)를 \(k\)에 대한 식으로 정리
② \(D=0\)이 모든 \(k\)에 대해 성립 = 항등식 → 각 차수의 계수 = 0
③ 연립방정식으로 \(a\), \(b\) 결정
이 패턴은 450번의 “k에 관계없이 항상 근을 가짐” 문제와 같은 원리입니다!
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(D\) 전개 시 \((a+2k)^2 = a^2+4k^2+4ak\)에서 중간항 \(4ak\) 빠뜨리는 실수
- \(-4(k^2-2k-b)\) 전개에서 \(-4k^2\)와 \(+8k\), \(+4b\)를 빠뜨리는 실수
- \(k^2\) 항이 \(4k^2-4k^2=0\)으로 사라짐을 확인하지 않는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
