쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
466번 · 허근 + 중근 조건 연립 — \(k\) 값 구하기
— \(D_1<0\)과 \(D_2=0\)의 교집합이 답!
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (두 판별식 조건 연립 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 📊 판별식 조건표 — 허근·중근·실근 한눈에
- 🔍 \(D_1<0\)에서 \(k\) 범위 → \(D_2=0\)에서 \(k\) 후보 → 교집합
- ⚠️ 두 조건을 따로 풀고 공통값 선택하는 순서
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(2x^2-4x-(k-5)=0\)이 허근을 갖고,
이차방정식 \(x^2-(k+3)x+k+6=0\)이 중근을 가질 때, 실수 \(k\)를 구하는 문제입니다.
| 조건 | 판별식 |
|---|---|
| 허근 | \(D<0\) |
| 중근 | \(D=0\) |
| 서로 다른 두 실근 | \(D>0\) |
💡 전략
① 첫 번째 방정식에서 허근 조건 \(D_1<0\) → \(k\)의 범위
② 두 번째 방정식에서 중근 조건 \(D_2=0\) → \(k\)의 후보값
③ 두 조건을 동시에 만족하는 \(k\) 선택
① 첫 번째 방정식에서 허근 조건 \(D_1<0\) → \(k\)의 범위
② 두 번째 방정식에서 중근 조건 \(D_2=0\) → \(k\)의 후보값
③ 두 조건을 동시에 만족하는 \(k\) 선택
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식: 허근 조건 \(D_1/4<0\)
\[\frac{D_1}{4} = (-2)^2 – 2\cdot(-(k-5)) = 4+2k-10 = 2k-6\] \[2k-6 < 0 \implies k < 3\]
\[\frac{D_1}{4} = (-2)^2 – 2\cdot(-(k-5)) = 4+2k-10 = 2k-6\] \[2k-6 < 0 \implies k < 3\]
2
두 번째 방정식: 중근 조건 \(D_2=0\)
\[\frac{D_2}{4} = \left(\frac{k+3}{2}\right)^2 – (k+6) = 0\] 실제 계산: \(D_2 = (k+3)^2 – 4(k+6) = k^2+6k+9-4k-24 = k^2+2k-15\) \[(k+5)(k-3) = 0 \implies k=-5 \text{ 또는 } k=3\]
\[\frac{D_2}{4} = \left(\frac{k+3}{2}\right)^2 – (k+6) = 0\] 실제 계산: \(D_2 = (k+3)^2 – 4(k+6) = k^2+6k+9-4k-24 = k^2+2k-15\) \[(k+5)(k-3) = 0 \implies k=-5 \text{ 또는 } k=3\]
3
교집합으로 최종 \(k\) 결정
\(k<3\)이고 \(k=-5\) 또는 \(k=3\) 중에서
\(k=3\): 조건 \(k<3\) 불만족 ❌
\(k=-5\): 조건 \(k<3\) 만족 ✅
\[\therefore\; k=-5\]
\(k<3\)이고 \(k=-5\) 또는 \(k=3\) 중에서
\(k=3\): 조건 \(k<3\) 불만족 ❌
\(k=-5\): 조건 \(k<3\) 만족 ✅
\[\therefore\; k=-5\]
정답 : \(k = -5\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 판별식 조건 연립 루틴
① 부등식 조건(\(D<0\) 또는 \(D>0\)) → \(k\)의 범위 결정
② 등식 조건(\(D=0\)) → \(k\)의 후보 목록 결정
③ ①의 범위에 속하는 ②의 후보 선택 → 정답
항상 “범위 먼저, 후보 나중에” 순서를 지키세요!
① 부등식 조건(\(D<0\) 또는 \(D>0\)) → \(k\)의 범위 결정
② 등식 조건(\(D=0\)) → \(k\)의 후보 목록 결정
③ ①의 범위에 속하는 ②의 후보 선택 → 정답
항상 “범위 먼저, 후보 나중에” 순서를 지키세요!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 두 조건을 독립적으로 풀고 교집합을 구하지 않는 실수 — 두 조건을 동시에 만족해야 합니다.
- \(D_1/4\) 계산 시 부호 실수 — \(2x^2-4x-(k-5)\)에서 \(c=-(k-5)\)임을 주의.
- \(k=3\)이 ①과 ②를 동시에 만족한다고 착각 — \(k<3\)에서 \(k=3\) 제외!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
