쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
464번 · 판별식 \(D>0\) — 정수 \(k\)의 최솟값
— \(D/4\)를 이용하면 계산이 절반으로 줄어듭니다!
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (판별식 D/4 완전 정복)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 📊 근의 판별 조건 표 (두 실근 / 중근 / 허근)
- 🔍 \(D/4\) 사용법 — 계산이 훨씬 빨라지는 이유
- ⚠️ \(k>-\frac{5}{3}\)에서 정수 최솟값을 \(-2\)로 쓰는 실수
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-2(k+3)x+k^2-1=0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 최솟값을 구하는 문제입니다.
💡 판별식 조건표
| 조건 | 판별식 | 근의 종류 |
|---|---|---|
| 서로 다른 두 실근 | \(D>0\) | 실수 두 개, 서로 다름 |
| 중근(같은 두 실근) | \(D=0\) | 실수 한 개 (겹침) |
| 서로 다른 두 허근 | \(D<0\) | 복소수 (실수 아님) |
✏️ 단계별 풀이
1
\(D/4\) 계산 (1차항 계수가 짝수일 때 사용)
\(ax^2+bx+c=0\)에서 \(b=2b’\)이면 \(D/4 = (b’)^2-ac\)
이 문제에서 \(b’ = -(k+3)\): \[\frac{D}{4} = (k+3)^2-(k^2-1) = k^2+6k+9-k^2+1 = 6k+10\]
\(ax^2+bx+c=0\)에서 \(b=2b’\)이면 \(D/4 = (b’)^2-ac\)
이 문제에서 \(b’ = -(k+3)\): \[\frac{D}{4} = (k+3)^2-(k^2-1) = k^2+6k+9-k^2+1 = 6k+10\]
2
서로 다른 두 실근 조건 \(D/4>0\)
\[6k+10>0 \implies k>-\frac{5}{3}\] \(-\frac{5}{3} \approx -1.67\)
\[6k+10>0 \implies k>-\frac{5}{3}\] \(-\frac{5}{3} \approx -1.67\)
3
정수 \(k\)의 최솟값 결정
\(k>-\frac{5}{3}=-1.666…\)에서
이 범위에 속하는 정수 중 최솟값: \(k=-1\)
(참고: \(k=-2\)이면 \(-2 < -\frac{5}{3}\)이므로 범위 밖 ❌)
\(k>-\frac{5}{3}=-1.666…\)에서
이 범위에 속하는 정수 중 최솟값: \(k=-1\)
(참고: \(k=-2\)이면 \(-2 < -\frac{5}{3}\)이므로 범위 밖 ❌)
정답 : ② 정수 \(k\)의 최솟값 \(= -1\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(D/4\) 공식 — 계산 속도를 2배 높이는 비기!
\(ax^2+2b’x+c=0\)에서 (1차항 계수가 짝수일 때)
\[\frac{D}{4} = (b’)^2 – ac\]
이 문제처럼 1차항이 \(-2(k+3)\) 꼴이면 \(b’=-(k+3)\)으로 바로 적용!
“정수 \(k\)의 최솟값” 문제 주의사항
\(k>-\frac{5}{3}\)에서 최솟값은 -\frac{5}{3}\)보다 큰 정수 중 가장 작은 것이므로 \(-1\).
\(ax^2+2b’x+c=0\)에서 (1차항 계수가 짝수일 때)
\[\frac{D}{4} = (b’)^2 – ac\]
이 문제처럼 1차항이 \(-2(k+3)\) 꼴이면 \(b’=-(k+3)\)으로 바로 적용!
“정수 \(k\)의 최솟값” 문제 주의사항
\(k>-\frac{5}{3}\)에서 최솟값은 -\frac{5}{3}\)보다 큰 정수 중 가장 작은 것이므로 \(-1\).
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(k>-\frac{5}{3}\)에서 최솟값을 \(-2\)로 쓰는 실수 — \(-2 < -\frac{5}{3}\)이므로 조건 불만족! 최솟값은 \(-1\).
- \(D/4\) 대신 \(D\) 전체를 계산해 복잡해지는 실수 — 1차 계수가 짝수면 \(D/4\)가 훨씬 빠릅니다.
- 부호 조건을 \(D/4 \geq 0\)으로 쓰는 실수 — 서로 다른 두 실근은 등호 없는 \(D > 0\)!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
⚡ \(D/4\) 계산을 즉시 떠올릴 수 있도록 “1차 계수가 짝수이면 \(D/4\)” 패턴을 조건반사처럼 훈련하세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
