쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
454번 · 새로운 연산 △ + 절댓값 방정식 — 서술형
— 연산 정의 대입 → 절댓값 방정식 → 경우 분류 → 검증
난이도 : 상
✍️ 서술형
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (연산 + 절댓값 복합 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 새 연산 대입으로 방정식 변환하는 2단계
- 📐 절댓값 경우 분류 및 범위 검증
- ✍️ 서술형 채점 기준 포인트
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a \triangle b = a + b – ab\) 라 정의할 때,
\(|x \triangle 3| = x \triangle x\)를 만족시키는 \(x\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
\(|x \triangle 3| = x \triangle x\)를 만족시키는 \(x\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
💡 풀이 흐름
Step 1. \(x \triangle 3\)과 \(x \triangle x\)를 정의에 대입해 일반식으로 변환
Step 2. 변환된 식으로 절댓값 방정식 구성
Step 3. 절댓값 내부 부호에 따라 경우 분류 + 검증
Step 1. \(x \triangle 3\)과 \(x \triangle x\)를 정의에 대입해 일반식으로 변환
Step 2. 변환된 식으로 절댓값 방정식 구성
Step 3. 절댓값 내부 부호에 따라 경우 분류 + 검증
✏️ 단계별 풀이
1
\(x \triangle 3\) 계산
\(a=x,\ b=3\) 대입: \[x \triangle 3 = x + 3 – 3x = -2x + 3\]
\(a=x,\ b=3\) 대입: \[x \triangle 3 = x + 3 – 3x = -2x + 3\]
2
\(x \triangle x\) 계산
\(a=x,\ b=x\) 대입: \[x \triangle x = x + x – x^2 = -x^2 + 2x\]
\(a=x,\ b=x\) 대입: \[x \triangle x = x + x – x^2 = -x^2 + 2x\]
3
방정식 구성
\[|-2x+3| = -x^2 + 2x\] 분기점: \(-2x+3=0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\)
\[|-2x+3| = -x^2 + 2x\] 분기점: \(-2x+3=0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\)
① \(x < \dfrac{3}{2}\)인 경우: \(|-2x+3| = -2x+3\)
\[-2x+3 = -x^2+2x\]
\[x^2 – 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0\]
\(x=1\) 또는 \(x=3\)검증: \(x=1 < \frac{3}{2}\) ✅ \(x=3 \geq \frac{3}{2}\) ❌
② \(x \geq \dfrac{3}{2}\)인 경우: \(|-2x+3| = 2x-3\)
\[2x-3 = -x^2+2x\]
\[x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}\]
검증: \(x=\sqrt{3} \approx 1.73 \geq \frac{3}{2}\) ✅ \(x=-\sqrt{3} < \frac{3}{2}\) ❌
정답 : \(x = 1\) 또는 \(x = \sqrt{3}\)
✍️ 서술형 답안 작성 포인트
① 연산 정의를 이용해 \(x \triangle 3 = -2x+3\), \(x \triangle x = -x^2+2x\) 계산 과정 서술
② 절댓값 방정식으로 변환 후 분기점 명시
③ 두 경우 각각의 방정식 풀이 과정 명시
④ 검증 과정 반드시 포함 — 채점에서 배점 있음!
⑤ 최종 답: \(x=1\) 또는 \(x=\sqrt{3}\) 명확히 제시
② 절댓값 방정식으로 변환 후 분기점 명시
③ 두 경우 각각의 방정식 풀이 과정 명시
④ 검증 과정 반드시 포함 — 채점에서 배점 있음!
⑤ 최종 답: \(x=1\) 또는 \(x=\sqrt{3}\) 명확히 제시
🧠 외워두면 좋은 패턴
복합 유형 공략 순서
새로운 연산 + 절댓값이 함께 나오면
① 연산 정의 대입으로 일반식 변환 (이 단계를 빠뜨리면 절대 안 됩니다)
② 변환된 식에서 절댓값 처리
③ 경우 분류 + 각각 풀기 + 검증
우변 \(-x^2+2x\)의 부호 확인!
절댓값은 항상 ≥ 0이므로 우변도 ≥ 0이어야 합니다 → 추가 범위 조건 확인 가능.
새로운 연산 + 절댓값이 함께 나오면
① 연산 정의 대입으로 일반식 변환 (이 단계를 빠뜨리면 절대 안 됩니다)
② 변환된 식에서 절댓값 처리
③ 경우 분류 + 각각 풀기 + 검증
우변 \(-x^2+2x\)의 부호 확인!
절댓값은 항상 ≥ 0이므로 우변도 ≥ 0이어야 합니다 → 추가 범위 조건 확인 가능.
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(x \triangle 3\)에서 \(a\)와 \(b\) 위치 혼동 — \(a=x, b=3\)으로 정확히 대입하면 \(-2x+3\).
- 범위 검증 없이 나온 근 전부 쓰는 실수 — 이 문제에서 \(x=3\)과 \(x=-\sqrt{3}\)은 제외됩니다.
- 경우 ②에서 \(2x-3=-x^2+2x\)에서 \(-3=-x^2\) 정리 실수 — \(x^2=3\) 이므로 \(x=\pm\sqrt{3}\) 두 값 모두 검토!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 서술형
5분
수능·모의고사
4분
⚡ 연산 정의 대입 + 절댓값 분류 두 가지를 동시에 처리하는 훈련이 필요합니다. 각 단계를 독립적으로 연습한 뒤 합쳐서 풀어보세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
