쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
452번 · 고차식 간소화 — \(a(a^2+3a-4)(a^2+a-6)\) 계산
— \(a^2 = 1-2a\) 치환으로 이차식을 일차식으로!
난이도 : 상
✍️ 서술형
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (고차식 변환 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 \(a^2+2a=1\)을 이용한 괄호 내 식 변환 전략
- 📐 각 이차식을 일차식 + 상수로 바꾸는 방법
- ✍️ 서술형 답안 작성 체크포인트
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2 + 2x – 1 = 0\)의 양수인 근을 \(a\)라 할 때,
\(a(a^2+3a-4)(a^2+a-6)\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
🗝️ 핵심 전제 — 먼저 \(a\) 값 확인
\(x^2+2x-1=0\)의 근의 공식: \(x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\)
양수인 근: \(a = -1+\sqrt{2}\) ✓
\(x^2+2x-1=0\)의 근의 공식: \(x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\)
양수인 근: \(a = -1+\sqrt{2}\) ✓
💡 핵심 아이디어 — \(a^2\)를 직접 계산하지 마세요!
\(a\)가 \(x^2+2x-1=0\)의 근이므로 \(a^2 + 2a – 1 = 0\)
즉, \(a^2 + 2a = 1\)이라는 관계를 이용합니다.
각 괄호 안의 이차식을 \(a^2+2a\) 꼴로 재정리하면 전부 일차식으로 바뀝니다!
\(a\)가 \(x^2+2x-1=0\)의 근이므로 \(a^2 + 2a – 1 = 0\)
즉, \(a^2 + 2a = 1\)이라는 관계를 이용합니다.
각 괄호 안의 이차식을 \(a^2+2a\) 꼴로 재정리하면 전부 일차식으로 바뀝니다!
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 괄호 변환
\[a^2+3a-4 = (a^2+2a)+a-4 = 1+a-4 = a-3\]
\[a^2+3a-4 = (a^2+2a)+a-4 = 1+a-4 = a-3\]
2
두 번째 괄호 변환
\[a^2+a-6 = (a^2+2a)-a-6 = 1-a-6 = -a-5\]
\[a^2+a-6 = (a^2+2a)-a-6 = 1-a-6 = -a-5\]
3
전체 식 계산
\[a(a-3)(-a-5) = -a(a-3)(a+5)\] \[= -a(a^2+5a-3a-15) = -a(a^2+2a-15)\] \(a^2+2a=1\)이므로: \[= -a(1-15) = -a(-14) = 14a\]
\[a(a-3)(-a-5) = -a(a-3)(a+5)\] \[= -a(a^2+5a-3a-15) = -a(a^2+2a-15)\] \(a^2+2a=1\)이므로: \[= -a(1-15) = -a(-14) = 14a\]
4
\(a = -1+\sqrt{2}\) 대입
\[14a = 14(-1+\sqrt{2}) = -14+14\sqrt{2}\]
\[14a = 14(-1+\sqrt{2}) = -14+14\sqrt{2}\]
정답 : \(-14 + 14\sqrt{2}\)
✍️ 서술형 답안 작성 포인트
① “양수인 근이므로 \(a=-1+\sqrt{2}\)” — 근의 공식 과정과 양수 선택 이유 명시
② “\(a^2+2a=1\) 이용” — 이 관계식이 어디서 나왔는지 한 줄 설명
③ 각 괄호의 변환 과정을 생략 없이 서술
④ \(14a\) 이후 최종 \(a\) 값 대입 과정과 답 명시
② “\(a^2+2a=1\) 이용” — 이 관계식이 어디서 나왔는지 한 줄 설명
③ 각 괄호의 변환 과정을 생략 없이 서술
④ \(14a\) 이후 최종 \(a\) 값 대입 과정과 답 명시
🧠 외워두면 좋은 패턴
이차방정식 근 대입 고차식 변환 공식
\(a^2+bx+c=0\)의 근 \(a\) → \(a^2 = -ba-c\) 를 이용해 고차항 소거
이 문제에서는 \(a^2 = 1-2a\)를 이용.
괄호 안의 이차식을 \((a^2+2a)+(\text{나머지})\) 꼴로 분리하면
\(a^2+2a = 1\)을 대입해 일차식으로 만들 수 있어요.
\(a^2+bx+c=0\)의 근 \(a\) → \(a^2 = -ba-c\) 를 이용해 고차항 소거
이 문제에서는 \(a^2 = 1-2a\)를 이용.
괄호 안의 이차식을 \((a^2+2a)+(\text{나머지})\) 꼴로 분리하면
\(a^2+2a = 1\)을 대입해 일차식으로 만들 수 있어요.
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(a = -1+\sqrt{2}\)가 양수인지 확인 안 하는 실수 — \(\sqrt{2} \approx 1.41 > 1\)이므로 양수. 확인 필수!
- 괄호 재정리 시 \((a^2+2a)\) 부분을 빼면서 부호 실수 — \(a^2+a-6 = (a^2+2a)-a-6\)에서 \(-a\) 주의.
- 중간 전개에서 \(a^2+2a-15\) 계산 실수 — \((a-3)(a+5)\)를 전개하면 \(a^2+2a-15\)임을 다시 확인.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 서술형
5분
수능·모의고사
3분 30초
⚡ 고차식 변환의 핵심은 아이디어를 빨리 떠올리는 것입니다. “방정식의 근이 주어지면 \(a^2\)를 일차식으로 바꿀 수 있다”는 패턴을 충분히 익혀두세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
