B단계 유형 🔥 상
📘 0374번 — 허수단위 i의 거듭제곱 — 좌표평면과 넓이
🔥 복소수 → 좌표평면! iⁿ을 곱하면 점이 90° 회전하는 성질을 이용해 사각형의 꼭짓점 좌표를 구하고 넓이를 계산하세요. 🏆
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 흐름을 먼저 파악하고, 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
(3+2i)iⁿ을 좌표평면 위의 점 Pn에 대응시킬 때, P₃₀~P₃₃을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 구하는 문제
(3+2i)iⁿ을 좌표평면 위의 점 Pn에 대응시킬 때, P₃₀~P₃₃을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
iⁿ을 곱하면 복소수가 90° 반시계 방향으로 회전! i³⁰, i³¹, i³², i³³의 값을 먼저 구하세요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
iⁿ 값 구하기
i³⁰ = (i⁴)⁷·i² = −1
i³¹ = i³⁰·i = −i
i³² = i³⁰·i² = 1
i³³ = i³⁰·i³ = i
i³⁰ = (i⁴)⁷·i² = −1
i³¹ = i³⁰·i = −i
i³² = i³⁰·i² = 1
i³³ = i³⁰·i³ = i
2
각 점 좌표
P₃₀: (3+2i)(−1) = −3−2i → (−3,−2)
P₃₁: (3+2i)(−i) = −3i−2i² = 2−3i → (2,−3)
P₃₂: (3+2i)(1) = 3+2i → (3,2)
P₃₃: (3+2i)(i) = 3i+2i² = −2+3i → (−2,3)
P₃₀: (3+2i)(−1) = −3−2i → (−3,−2)
P₃₁: (3+2i)(−i) = −3i−2i² = 2−3i → (2,−3)
P₃₂: (3+2i)(1) = 3+2i → (3,2)
P₃₃: (3+2i)(i) = 3i+2i² = −2+3i → (−2,3)
3
넓이 계산 (신발끈 공식)
꼭짓점: (−3,−2), (2,−3), (3,2), (−2,3)
신발끈: |{(−3)(−3)−2(−2)+(2)(2)−3(−3)+(3)(3)−(−2)(2)+(−2)(−2)−(−3)(3)}|/2
= |9+4+4+9+9+4+4+9|/2 = 52/2 = 26
꼭짓점: (−3,−2), (2,−3), (3,2), (−2,3)
신발끈: |{(−3)(−3)−2(−2)+(2)(2)−3(−3)+(3)(3)−(−2)(2)+(−2)(−2)−(−3)(3)}|/2
= |9+4+4+9+9+4+4+9|/2 = 52/2 = 26
정답: 26
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
복소수에 i를 곱하면 90° 회전! 따라서 4개의 연속 점은 항상 정사각형(또는 직사각형)을 이뤄요. 신발끈 공식이나 둘러싸는 사각형에서 빼는 방법으로 넓이를 구하세요!
⚠️ 이것만 조심하세요!
i³⁰, i³¹ 등의 값을 잘못 구하거나, (3+2i)×(−i) 같은 곱셈에서 부호를 틀리는 실수가 많아요!
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
5~6분
정확한 계산이 우선
📝 수능 시험
3~4분
패턴 숙달 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: iⁿ 값 → 좌표 구하기 → 넓이 계산 순서로! 좌표를 구한 뒤 신발끈 공식을 능숙하게 사용하면 시간을 크게 줄일 수 있어요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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