쎈 공통수학1 · 2단원 · 대칭계수 사차식 인수분해
📘 0242번 — 반대칭계수 사차식 — x−1/x=t 치환
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상을 먼저 보고, 아래 풀이 설명과 함께 복습하면 효과가 2배예요! 😊
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
x⁴−x³−4x²+x+1을 인수분해하는 문제
x⁴−x³−4x²+x+1을 인수분해하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
계수 1, −1, −4, 1, 1 → 양 끝이 같은 부호, 가운데 대칭! 반대칭이 아니라 대칭. x²으로 나누면 (x²+1/x²)−(x+1/x)−4 → t=x−1/x가 아니라 t=x+1/x
✏️ 단계별 풀이 설명
1
계수 패턴 확인 & x²으로 나누기
계수: 1, −1, −4, 1, 1
양끝 같은 부호 → t=x+1/x 치환!
x²으로 나누면:
(x²+1/x²)−(x+1/x)−4
계수: 1, −1, −4, 1, 1
양끝 같은 부호 → t=x+1/x 치환!
x²으로 나누면:
(x²+1/x²)−(x+1/x)−4
2
t=x+1/x 치환
t = x+1/x, x²+1/x² = t²−2
→ (t²−2)−t−4 = t²−t−6
t = x+1/x, x²+1/x² = t²−2
→ (t²−2)−t−4 = t²−t−6
3
t의 이차식 인수분해 & 복원
t²−t−6 = (t+2)(t−3)
= (x+1/x+2)(x+1/x−3)
x를 곱해서 정리:
= (x²+2x+1)(x²−3x+1)… 잠깐!
t²−t−6 = (t+2)(t−3)
= (x+1/x+2)(x+1/x−3)
x를 곱해서 정리:
= (x²+2x+1)(x²−3x+1)… 잠깐!
4
계산 재확인
x⁴−x³−4x²+x+1
x=1 대입: 1−1−4+1+1=−2 ≠ 0
x=−1 대입: 1+1−4−1+1=−2 ≠ 0
x²으로 나누어 x−1/x=t 적용:
(x²+1/x²)−(x+1/x)−4 재계산
x⁴−x³−4x²+x+1
x=1 대입: 1−1−4+1+1=−2 ≠ 0
x=−1 대입: 1+1−4−1+1=−2 ≠ 0
x²으로 나누어 x−1/x=t 적용:
(x²+1/x²)−(x+1/x)−4 재계산
5
올바른 치환 & 최종 인수분해
x²으로 나누기:
x²−x−4+1/x+1/x²
= (x²+1/x²)−(x−1/x)−4
t=x−1/x로 놓으면: x²+1/x²=t²+2
→ (t²+2)−t−4 = t²−t−2 = (t+1)(t−2)
= (x−1/x+1)(x−1/x−2)
x 곱하면: (x²+x−1)(x²−2x−1)
x²으로 나누기:
x²−x−4+1/x+1/x²
= (x²+1/x²)−(x−1/x)−4
t=x−1/x로 놓으면: x²+1/x²=t²+2
→ (t²+2)−t−4 = t²−t−2 = (t+1)(t−2)
= (x−1/x+1)(x−1/x−2)
x 곱하면: (x²+x−1)(x²−2x−1)
정답: (x²+x−1)(x²−2x−1)
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
계수 1,a,b,a,1 → t=x+1/x / 계수 1,a,b,−a,−1 → t=x−1/x 로 구분하여 치환
⚠️ 이것만 조심하세요!
계수 1, −1, −4, +1, +1이 반대칭(부호 반전) 패턴임을 인식하지 못하거나, x−1/x=t 치환을 떠올리지 못하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
시험장에서 이 문제를 만났을 때 아래 시간 안에 풀 수 있도록 연습하세요!
🏫 내신 시험
4~5분
계산 검토 시간 포함
📝 수능 시험
3분
패턴 암기로 시간 단축!
⚡ 시간 줄이는 법: 대칭/반대칭 구분법: 양끝 같은 부호면 t=x+1/x, 양끝 반대 부호면 t=x−1/x. 이 두 가지만 외우면 5초 만에 방향 결정!
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 연습)
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