쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
544번 · 직각삼각형 내접 정사각형 한 변 → 넓이·둘레를 근으로 하는 이차방정식 [교육청 기출]
— 내접 정사각형 한 변 \(k=\alpha\beta/(\alpha+\beta)\) → 넓이=\(k^2\), 둘레=\(4k\)를 근으로 방정식 작성!
🔥 C단계📋 교육청
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (내접 정사각형 + 이차방정식 작성)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 x²−4x+2=0의 두 실근 α, β → α+β=4, αβ=2
- 📐 내접 정사각형 한 변 k=αβ/(α+β)=2/4=1/2
- 🎯 넓이=1/4, 둘레=2 → 4x²−9x+2=0 → m=−9, n=2 → m+n=−7
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-4x+2=0\)의 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\) (\(\alpha<\beta\))라 할 때,
AB=\(\alpha\), BC=\(\beta\)인 직각삼각형 ABC에 내접하는 정사각형의 넓이와 둘레의 길이를
두 근으로 하는 이차방정식이 \(4x^2+mx+n=0\)일 때, \(m+n\)을 구하는 교육청 기출 문제입니다.
💡 핵심 공식 — 직각삼각형에 내접하는 정사각형의 한 변!
직각삼각형의 두 다리 길이가 \(a\), \(b\)일 때,
내접 정사각형의 한 변의 길이 \(k\):
\[k = \frac{ab}{a+b}\]
(닮음 조건 AA에서 유도)
직각삼각형의 두 다리 길이가 \(a\), \(b\)일 때,
내접 정사각형의 한 변의 길이 \(k\):
\[k = \frac{ab}{a+b}\]
(닮음 조건 AA에서 유도)
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=4\), \quad \(\alpha\beta=2\)
\(\alpha+\beta=4\), \quad \(\alpha\beta=2\)
2
내접 정사각형의 한 변 k 계산
\[k=\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
\[k=\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
3
정사각형의 넓이·둘레 계산
넓이 = \(k^2=\dfrac{1}{4}\)
둘레 = \(4k=4\cdot\dfrac{1}{2}=2\)
넓이 = \(k^2=\dfrac{1}{4}\)
둘레 = \(4k=4\cdot\dfrac{1}{2}=2\)
4
두 근을 1/4, 2로 하는 이차방정식 작성
합 = \(\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}\), 곱 = \(\dfrac{1}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\)
\[x^2-\frac{9}{4}x+\frac{1}{2}=0 \implies 4x^2-9x+2=0\]
∴ \(m=-9\), \(n=2\)
합 = \(\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}\), 곱 = \(\dfrac{1}{4}\cdot2=\dfrac{1}{2}\)
\[x^2-\frac{9}{4}x+\frac{1}{2}=0 \implies 4x^2-9x+2=0\]
∴ \(m=-9\), \(n=2\)
5
최종 계산
\[m+n=-9+2=-7\]
\[m+n=-9+2=-7\]
정답 : ⑤ \(m+n=-7\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
직각삼각형 내접 정사각형 한 변 공식 유도
△ADF∽△ABC(AA 닮음)에서 \(\dfrac{k}{a}=\dfrac{b-k}{b}\)
\(bk=a(b-k)=ab-ak\)
\(k(a+b)=ab \implies k=\dfrac{ab}{a+b}\)
→ 이 공식을 외우면 k를 즉시 구할 수 있습니다!
△ADF∽△ABC(AA 닮음)에서 \(\dfrac{k}{a}=\dfrac{b-k}{b}\)
\(bk=a(b-k)=ab-ak\)
\(k(a+b)=ab \implies k=\dfrac{ab}{a+b}\)
→ 이 공식을 외우면 k를 즉시 구할 수 있습니다!
⚠️ 이런 실수 조심!
- k=αβ/(α+β)=2/4=1/2 계산이 핵심 — 직접 근을 구하지 않아도 됩니다!
- 넓이=k²=1/4, 둘레=4k=2 (k²이 아닌 4k)를 혼동하는 실수
- x²계수가 4가 되도록 정수 계수로 변환 (×4) 필수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
7분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
