쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
530번 · \((2024x)^2-2023\cdot2025\,x-1=0\) — 치환으로 인수분해
— \(2023\times2025=(2024)^2-1\) 로 치환! 큰 근 \(\alpha\)와 작은 근 \(\beta\)를 정확히 선택!
🔥 C단계 고난도
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (연속 세 수의 곱 치환 고급 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 2024=a로 치환 → 2023·2025=a²−1 이용
- 📐 a²x²−(a²−1)x−1=(a²x+1)(x−1)=0 → α=1
- 📐 x²+2024x−2025=(x+2025)(x−1)=0 → β=−2025
- 🎯 α−β=1−(−2025)=2026
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \((2024x)^2-2023\cdot2025\,x-1=0\)의 두 근 중 큰 근을 \(\alpha\),
이차방정식 \(x^2+2024x-2025=0\)의 두 근 중 작은 근을 \(\beta\)라 할 때,
\(\alpha-\beta\)의 값을 구하는 고난도 문제입니다.
💡 핵심 아이디어 — 연속 세 수의 곱 공식!
\[2023\times2025 = (2024-1)(2024+1) = 2024^2-1\]
2024=a로 치환하면 2023·2025=a²−1로 깔끔해집니다!
\[2023\times2025 = (2024-1)(2024+1) = 2024^2-1\]
2024=a로 치환하면 2023·2025=a²−1로 깔끔해집니다!
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식 — a=2024 치환
\[(2024x)^2-2023\cdot2025\cdot x-1=0\] \(a=2024\)으로 치환하면 \(2023\cdot2025=a^2-1\)이므로:
\[a^2x^2-(a^2-1)x-1=0\]
\[(2024x)^2-2023\cdot2025\cdot x-1=0\] \(a=2024\)으로 치환하면 \(2023\cdot2025=a^2-1\)이므로:
\[a^2x^2-(a^2-1)x-1=0\]
2
인수분해
\[a^2x^2-(a^2-1)x-1 = (a^2x+1)(x-1)\] 검증: \(a^2x^2-a^2x+x-1 = a^2x(x-1)+(x-1)=(a^2x+1)(x-1)\) ✓
두 근: \(x=1\) 또는 \(x=-\dfrac{1}{a^2}=-\dfrac{1}{2024^2}\)
큰 근: \(\alpha=1\)
\[a^2x^2-(a^2-1)x-1 = (a^2x+1)(x-1)\] 검증: \(a^2x^2-a^2x+x-1 = a^2x(x-1)+(x-1)=(a^2x+1)(x-1)\) ✓
두 근: \(x=1\) 또는 \(x=-\dfrac{1}{a^2}=-\dfrac{1}{2024^2}\)
큰 근: \(\alpha=1\)
3
두 번째 방정식 인수분해
\[x^2+2024x-2025=(x+2025)(x-1)=0\] 두 근: \(x=1\) 또는 \(x=-2025\)
작은 근: \(\beta=-2025\)
\[x^2+2024x-2025=(x+2025)(x-1)=0\] 두 근: \(x=1\) 또는 \(x=-2025\)
작은 근: \(\beta=-2025\)
4
최종 계산
\[\alpha-\beta = 1-(-2025) = 2026\]
\[\alpha-\beta = 1-(-2025) = 2026\]
정답 : ⑤ \(\alpha-\beta=2026\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
연속 세 정수 치환 공식
\[(n-1)(n+1)=n^2-1\]
문제에서 “2023×2025” 등이 보이면 즉시 2024=a로 치환해 \(a^2-1\)로 처리!
인수분해 팁: \(a^2x^2-(a^2-1)x-1\)
→ 상수항 −1, x²계수 a² → \((a^2x+1)(x-1)\) 시도
\[(n-1)(n+1)=n^2-1\]
문제에서 “2023×2025” 등이 보이면 즉시 2024=a로 치환해 \(a^2-1\)로 처리!
인수분해 팁: \(a^2x^2-(a^2-1)x-1\)
→ 상수항 −1, x²계수 a² → \((a^2x+1)(x-1)\) 시도
⚠️ 이런 실수 조심!
- 큰 근/작은 근 선택 실수 — \(-1/2024^2\)와 1 중 큰 것은 1, \(-2025\)와 1 중 작은 것은 −2025!
- 2023×2025=2024²−1 변환을 떠올리지 못하면 계산이 매우 복잡 — 연속수 패턴 필수 암기!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
