쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
501번 · 두 이차방정식 연결 — \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)가 두 번째 방정식의 근
— 첫 번째 근과 계수 → 두 번째 방정식에 대입 → 연립!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (두 방정식 연결 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 첫 번째: α+β=2a, αβ=−4 → 두 번째: (α+β)+αβ=−b, (α+β)·αβ=−12
- 📐 2a·(−4)=−12 → a=3/2 → b=1 → a+b=5/2
- ⚠️ 두 번째 방정식의 두 근이 α, β가 아니라 α+β, αβ임을 주의!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-2ax-4=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고,
이차방정식 \(x^2+bx-12=0\)의 두 근이 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)일 때, \(a+b\)를 구하는 문제입니다.
🗝️ 핵심: 두 번째 방정식의 “근”이 α, β가 아니라 α+β, αβ!
첫 번째 방정식에서 α+β와 αβ를 구하고
이를 두 번째 방정식의 근(두 수)으로 사용해 근과 계수의 관계 적용
첫 번째 방정식에서 α+β와 αβ를 구하고
이를 두 번째 방정식의 근(두 수)으로 사용해 근과 계수의 관계 적용
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식 근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta = 2a\), \quad \(\alpha\beta = -4\)
\(\alpha+\beta = 2a\), \quad \(\alpha\beta = -4\)
2
두 번째 방정식에 적용
두 근 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)에 대해:
합: \((\alpha+\beta)+(\alpha\beta) = -b \implies 2a+(-4)=-b\) ···①
곱: \((\alpha+\beta)\cdot(\alpha\beta) = -12 \implies 2a\cdot(-4)=-12\) ···②
두 근 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)에 대해:
합: \((\alpha+\beta)+(\alpha\beta) = -b \implies 2a+(-4)=-b\) ···①
곱: \((\alpha+\beta)\cdot(\alpha\beta) = -12 \implies 2a\cdot(-4)=-12\) ···②
3
연립하여 a, b 결정
②에서: \(-8a=-12 \implies a=\dfrac{3}{2}\)
①에 대입: \(3-4=-b \implies b=1\)
\[a+b = \frac{3}{2}+1 = \frac{5}{2}\]
②에서: \(-8a=-12 \implies a=\dfrac{3}{2}\)
①에 대입: \(3-4=-b \implies b=1\)
\[a+b = \frac{3}{2}+1 = \frac{5}{2}\]
정답 : ④ \(a+b=\dfrac{5}{2}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 방정식 연결 루틴
① 첫 번째 방정식: 근과 계수의 관계 → α+β, αβ 표현
② 두 번째 방정식의 “두 근”이 무엇인지 정확히 파악
③ 두 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용 → 연립
① 첫 번째 방정식: 근과 계수의 관계 → α+β, αβ 표현
② 두 번째 방정식의 “두 근”이 무엇인지 정확히 파악
③ 두 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용 → 연립
⚠️ 이런 실수 조심!
- 두 번째 방정식의 두 근이 α+β, αβ임을 놓치는 실수
- 두 번째 방정식 x²+bx−12=0에서 “두 근의 합=−b, 두 근의 곱=−12″임을 혼동 — 두 근의 곱 = 상수항/최고차계수 = −12/1 = −12
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
🖼️ 교재 해설 이미지
