쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
443번 · 이차방정식 — 전개 후 인수분해
— 괄호를 풀고 이항하여 표준 이차방정식으로 만들기
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 단계별 풀이 영상
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 전개·이항·인수분해 3단계 흐름 완전 분석
- 💡 부호 실수를 막는 체크 포인트
- ⚠️ 자주 틀리는 실수 유형
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
방정식 \((x+3)^2 = x(3x-11)\)의 근을 구하는 문제입니다. 양변에 이미 전개되지 않은 식이 있으니, 양변을 각각 전개한 뒤 한쪽으로 모아 표준형 이차방정식을 만드는 것이 핵심입니다.
💡 단서는 여기에 있어요!
양변에 각각 이차식이 있어요. 전개하면 어떤 쪽이 더 큰 최고차항이 나올까요?
→ 왼쪽: \((x+3)^2\) → 최고차항 \(x^2\)
→ 오른쪽: \(x(3x-11)\) → 최고차항 \(3x^2\)
→ 이항하면 \(3x^2 – x^2 = 2x^2\) 이므로 이차방정식이 됩니다. 이를 예측하고 전개를 시작하면 훨씬 빨라요!
양변에 각각 이차식이 있어요. 전개하면 어떤 쪽이 더 큰 최고차항이 나올까요?
→ 왼쪽: \((x+3)^2\) → 최고차항 \(x^2\)
→ 오른쪽: \(x(3x-11)\) → 최고차항 \(3x^2\)
→ 이항하면 \(3x^2 – x^2 = 2x^2\) 이므로 이차방정식이 됩니다. 이를 예측하고 전개를 시작하면 훨씬 빨라요!
✏️ 단계별 풀이
1
양변 전개
\[(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\] \[x(3x-11) = 3x^2 – 11x\]
\[(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\] \[x(3x-11) = 3x^2 – 11x\]
2
오른쪽으로 이항 (좌변 = 0 만들기)
\[x^2 + 6x + 9 = 3x^2 – 11x\] \[0 = 3x^2 – 11x – x^2 – 6x – 9\] \[2x^2 – 17x – 9 = 0\]
\[x^2 + 6x + 9 = 3x^2 – 11x\] \[0 = 3x^2 – 11x – x^2 – 6x – 9\] \[2x^2 – 17x – 9 = 0\]
3
인수분해
\[(2x+1)(x-9) = 0\] \[x = -\frac{1}{2} \quad \text{또는} \quad x = 9\]
\[(2x+1)(x-9) = 0\] \[x = -\frac{1}{2} \quad \text{또는} \quad x = 9\]
정답 : ③ \(x = -\dfrac{1}{2}\) 또는 \(x = 9\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
전개 → 이항 → 정리 → 인수분해(or 근의 공식) 4단계 루틴
이차방정식이 정리되면 인수분해 가능 여부 먼저 확인, 안 되면 근의 공식 사용.
\((ax+b)(cx+d) = 0\)으로 인수분해할 때:
→ 두 상수의 곱 = \(bd\) = 상수항 확인
→ 외항 내항 교차 합 = 일차항 계수 확인
이차방정식이 정리되면 인수분해 가능 여부 먼저 확인, 안 되면 근의 공식 사용.
\((ax+b)(cx+d) = 0\)으로 인수분해할 때:
→ 두 상수의 곱 = \(bd\) = 상수항 확인
→ 외항 내항 교차 합 = 일차항 계수 확인
⚠️ 이런 실수 조심!
- 이항할 때 부호를 반대로! \(+6x\)를 이항하면 \(-6x\)가 됩니다. 이항 후 반드시 체크.
- \((x+3)^2 = x^2 + 9\)로 잘못 전개 — 반드시 중간 항 \(2 \times x \times 3 = 6x\) 포함!
- 인수분해 검산 — 구한 근을 원래 방정식에 대입해 확인하는 습관을 들이세요.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분 30초
수능·모의고사
2분
⚡ 전개를 빠르게 하려면 \((x+3)^2 = x^2+6x+9\) 같은 완전제곱식 전개를 눈으로 읽을 수 있을 만큼 반복 연습하세요. 인수분해도 \(2 \times (-9) = -18\), 합이 \(-17\)인 두 수 → \(-18, 1\)을 빠르게 찾는 훈련이 핵심입니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
📚 추천 학습 루트
연산 → 개념 → 마플 순으로 차근차근!