TOUGH
최다빈출 왕중요 문항
원점에 대한 대칭이동
평행이동
점과 직선 사이의 거리
거리의 최대·최소
출제의도
이 문항은 두 단원을 한 문제에 겹쳐 놓았습니다. 앞부분은 f(−x−1, −y−1)=0이라는 식을 어떤 이동의 결과인지 해석하는 도형의 이동 문제이고, 뒷부분은 옮겨진 도형 위의 점과 원점 사이 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 최대·최소 문제입니다. 앞을 틀리면 뒤는 손도 못 대는 구조라, 이동 해석이 정확해야 합니다.
진짜 함정은 뒷부분에 있습니다. 최댓값은 꼭짓점에서 나오지만, 최솟값은 꼭짓점이 아니라 변 위의 한 점에서 나옵니다. 원점에서 가장 가까운 위치를 습관적으로 꼭짓점 중에서 고르면 √2 대신 2를 답하게 되고, M²+m²의 값이 통째로 틀립니다. 도형이 다각형일 때 거리의 최소는 점과 직선 사이의 거리로 넘어간다는 감각을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
f(−x−1, −y−1)=0을 그대로 읽으려 하지 말고 부호로 묶으세요. −x−1 = −(x+1), −y−1 = −(y+1)이므로 이 식은 f(−(x+1), −(y+1))=0입니다.
묶고 나면 두 단계가 분리되어 보입니다. 부호가 뒤집힌 것은 원점에 대한 대칭이동이고, 그 안의 x+1과 y+1은 x축 방향으로 −1, y축 방향으로 −1만큼의 평행이동입니다. 즉 주어진 도형을 원점 대칭한 뒤 왼쪽 아래로 (1, 1)만큼 밀면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이동은 꼭짓점 네 개만 추적하면 충분합니다. 원래 도형은 중심이 (−3, −3)이고 네 꼭짓점이 (−3, −1), (−5, −3), (−1, −3), (−3, −5)인 마름모입니다. 원점 대칭은 모든 좌표의 부호를 바꾸고, 평행이동은 각 좌표에서 1씩 빼면 됩니다. 옮겨진 마름모의 꼭짓점 네 개를 좌표평면에 찍어 두세요.
이제 원점에서 이 마름모까지의 거리를 봅니다. 최댓값은 꼭짓점 네 개의 거리를 비교하면 되지만, 최솟값은 다릅니다. 원점에서 가장 가까운 변이 어느 것인지 찾고, 그 변을 지나는 직선의 방정식을 세워 점과 직선 사이의 거리를 구하세요. 이때 수선의 발이 실제로 그 변 위에 놓이는지도 확인해야 합니다. 마지막에 구하는 것은 M+m이 아니라 M²+m²이라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 M² + m² = 22
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A식을 묶어 이동을 두 단계로 분해하기
방정식 f(x, y)=0을 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 −x, y 대신 −y를 대입하므로 f(−x, −y)=0이 됩니다.
이 도형을 다시 x축 방향으로 −1만큼, y축 방향으로 −1만큼 평행이동하면 x 대신 x+1, y 대신 y+1을 대입하므로
f(−(x+1), −(y+1))=0, 즉 f(−x−1, −y−1)=0
이 됩니다. 따라서 주어진 식은 원래 도형을 원점 대칭한 뒤 (−1, −1)만큼 평행이동한 결과입니다.
STEP B옮겨진 도형의 꼭짓점 구하기
원래 도형은 중심이 (−3, −3)이고 꼭짓점이 (−3, −1), (−5, −3), (−1, −3), (−3, −5)인 마름모입니다.
원점 대칭 후 — 모든 좌표의 부호가 바뀌므로 꼭짓점은 (3, 1), (5, 3), (1, 3), (3, 5)가 되고 중심은 (3, 3)입니다.
평행이동 후 — 각 좌표에서 1씩 빼면 꼭짓점은 (2, 0), (4, 2), (0, 2), (2, 4)가 되고 중심은 (2, 2)입니다.
즉 f(−x−1, −y−1)=0이 나타내는 도형은 중심이 (2, 2)이고 대각선의 길이가 4인 마름모입니다.
STEP C최댓값 M 구하기
원점이 도형 바깥에 있으므로 거리가 가장 먼 점은 꼭짓점 중 하나입니다. 네 꼭짓점까지의 거리를 비교하면 (2, 0)과 (0, 2)는 각각 2, (2, 4)와 (4, 2)는 각각 √(2²+4²)=2√5입니다.
따라서 M = 2√5이고, 최댓값은 두 꼭짓점 (2, 4)와 (4, 2)에서 동시에 나타납니다.
STEP D최솟값 m 구하기와 답 계산
원점에서 가장 가까운 부분은 꼭짓점이 아니라 두 점 (2, 0), (0, 2)를 잇는 변입니다. 이 변을 지나는 직선의 방정식은 x+y−2=0이므로, 원점에서 이 직선까지의 거리는
m = |0+0−2|√(1²+1²) = 2√2 = √2
입니다. 원점에서 이 직선에 내린 수선의 발이 (1, 1)이고 이 점은 실제로 변 위에 있으므로 √2를 최솟값으로 쓸 수 있습니다.
따라서 M² + m² = 20 + 2 = 22입니다.
1등급 다른 풀이 · 도형을 옮기지 말고 점을 옮기기
이 문항은 도형을 다시 그리지 않고도 풀 수 있습니다. 발상은 이동을 도형이 아니라 기준점에 적용하는 것입니다.
새 도형 f(−x−1, −y−1)=0 위의 점을 P(x, y)라 하면, 정의에 의해 점 Q(−x−1, −y−1)은 원래 도형 f(x, y)=0 위의 점입니다. 이때 두 점 사이의 관계를 거리로 옮겨 보면
OP² = x² + y² = (−x−1+1)² + (−y−1+1)² = (점 Q와 점 (−1, −1) 사이의 거리)²
가 성립합니다. 즉 새 도형 위의 점과 원점 사이의 거리는 원래 도형 위의 점과 점 (−1, −1) 사이의 거리와 완전히 같습니다. 도형은 그대로 두고 원점만 (−1, −1)로 옮겨 놓으면 되는 셈입니다.
원래 마름모의 꼭짓점 (−3, −1), (−1, −3)에서 점 (−1, −1)까지의 거리는 각각 2이고, (−5, −3), (−3, −5)까지의 거리는 각각 2√5이므로 M=2√5가 바로 나옵니다. 최솟값은 점 (−1, −1)에 가장 가까운 변, 즉 두 점 (−3, −1)과 (−1, −3)을 잇는 직선 x+y+4=0까지의 거리이므로 |−1−1+4|/√2 = √2입니다. 대칭이동과 평행이동을 한 번도 그리지 않고 같은 답에 도달했습니다.
실수를 줄이는 전략
- f(−x−1, −y−1)을 그대로 읽지 말고 f(−(x+1), −(y+1))로 묶으세요. 묶는 순간 “원점 대칭 후 (−1, −1) 평행이동”이라는 순서가 저절로 확정됩니다. 묶지 않으면 이동 방향이 뒤집힙니다.
- 최솟값을 꼭짓점에서 찾지 마세요. 이 문항에서 가장 많은 오답이 원점과 꼭짓점 (2, 0) 사이의 거리 2를 m으로 잡는 것입니다. 도형이 다각형이면 최소는 변 위에서 나올 수 있고, 그때는 점과 직선 사이의 거리를 써야 합니다.
- 수선의 발이 실제로 그 변 위에 있는지 확인하세요. 여기서는 (1, 1)이 변 위에 있어 √2가 유효하지만, 수선의 발이 변을 벗어나면 그때는 꼭짓점이 최소가 됩니다.
- 최대와 최소가 같은 방향에 있을 거라 가정하지 마세요. 최소는 y=x 방향의 변에서 나오지만, 그 반대쪽 점 (3, 3)까지의 거리는 3√2=√18로 2√5=√20보다 작습니다. 최대는 꼭짓점 쪽입니다.
- 구하는 값은 M+m이 아니라 M²+m²입니다. 2√5와 √2를 힘들게 구해 놓고 마지막에 더해 버리면 무리식이 남아 답이 나오지 않습니다. 제곱하면 20+2=22로 깔끔하게 정수가 됩니다.
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