TOUGH
최다빈출 왕중요 문항
f(x, y)=0의 평행이동
f(x, y)=0의 대칭이동
묶어 읽기
참·거짓 판정
출제의도
이 문항은 도형 A를 나타내는 방정식 f(x, y)=0이 주어졌을 때, 네 개의 식이 각각 도형 B를 나타낼 수 있는지를 모두 판정하는 문제입니다. 하나만 고르는 것이 아니라 넷을 전부 검사해야 하므로, 한 개라도 방향을 잘못 읽으면 그대로 오답이 됩니다.
이 유형이 어려운 진짜 이유는 A가 한 변의 길이가 1인 정사각형이기 때문입니다. 정사각형은 어떤 축으로 뒤집어도 자기 자신과 모양이 같으므로, A를 B로 옮기는 방법이 평행이동 하나로 끝나지 않고 여러 개 존재합니다. “평행이동만으로 갈 수 있으니 대칭이 섞인 보기는 다 틀렸겠지”라는 배제 추론이 통하지 않도록 설계된 문항이고, 실제로 정답에는 대칭이 섞인 보기가 두 개나 포함됩니다. 결국 보기 하나하나를 규칙대로 정직하게 해석하는 능력을 묻습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 도형의 좌표를 정확히 적어 두세요. 도형 A는 1≤x≤2, 2≤y≤3인 정사각형이고, 도형 B는 −2≤x≤−1, −2≤y≤−1인 정사각형입니다. 크기가 같은 한 변 1짜리 정사각형이라는 사실을 눈에 새겨 두세요.
다음으로 이동의 기본 규칙 두 줄을 확인합니다. x 대신 x+p를 대입하면 도형은 x축 방향으로 −p만큼 움직입니다(방향이 반대). 그리고 x 대신 −x를 대입하면 y축에 대한 대칭, y 대신 −y를 대입하면 x축에 대한 대칭, x와 y의 자리를 통째로 바꾸면 직선 y=x에 대한 대칭입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
대칭과 평행이동이 섞인 식은 반드시 괄호로 묶어서 읽으세요. 예를 들어 f(−x+3, y+4)=0은 f(−(x−3), y+4)=0으로 고쳐 씁니다. 이렇게 묶으면 “먼저 y축 대칭, 그다음 x축 방향으로 +3, y축 방향으로 −4″라는 순서가 저절로 드러납니다. 묶지 않고 −x+3을 그대로 읽으면 이동 방향과 순서가 동시에 어긋납니다.
네 보기를 이 방식으로 하나씩 처리해 A의 x범위 [1, 2]와 y범위 [2, 3]이 각각 어디로 옮겨지는지 계산한 뒤, B의 범위 [−2, −1]×[−2, −1]과 비교하세요. ㄹ처럼 x와 y의 자리가 바뀐 식은 y=x 대칭이 먼저라는 점만 놓치지 않으면 됩니다.
정답 확인
정답 ④ ㄱ, ㄷ, ㄹ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 도형의 좌표와 이동 규칙 정리하기
도형 A는 1≤x≤2, 2≤y≤3인 정사각형이고, 도형 B는 −2≤x≤−1, −2≤y≤−1인 정사각형입니다. 한 변의 길이가 둘 다 1이므로 모양과 크기는 이미 일치하고, 위치만 맞추면 됩니다.
기억할 규칙은 두 개입니다. 첫째, x 대신 x+p를 대입하면 도형은 x축 방향으로 −p만큼 옮겨집니다. 둘째, 부호가 붙은 식은 f(−(x−p), …) 꼴로 묶어 대칭 → 평행이동의 순서로 읽습니다.
STEP B보기 ㄱ, ㄴ 판정하기
ㄱ. f(x+3, y+4)=0 — x 대신 x+3, y 대신 y+4를 대입했으므로 도형 A를 x축 방향으로 −3만큼, y축 방향으로 −4만큼 평행이동한 것입니다. x범위 [1, 2]는 [−2, −1]로, y범위 [2, 3]은 [−2, −1]로 옮겨지므로 도형 B와 정확히 일치합니다. [참]
ㄴ. f(−x+3, y+4)=0 — f(−(x−3), y+4)=0으로 묶으면 A를 y축에 대하여 대칭이동한 뒤 x축 방향으로 +3, y축 방향으로 −4만큼 평행이동한 것입니다. y축 대칭으로 x범위가 [−2, −1]이 되고, 여기에 +3을 더하면 다시 [1, 2]로 돌아옵니다. y범위는 [−2, −1]이 맞지만 x범위가 어긋나므로 도형 B와 같지 않습니다. [거짓]
STEP C보기 ㄷ, ㄹ 판정하기
ㄷ. f(−x, −y+1)=0 — f(−x, −(y−1))=0으로 묶으면 A를 원점에 대하여 대칭이동한 뒤 y축 방향으로 +1만큼 평행이동한 것입니다. 원점 대칭으로 x범위는 [−2, −1], y범위는 [−3, −2]가 되고, y를 1만큼 올리면 y범위가 [−2, −1]이 되어 도형 B와 일치합니다. [참]
ㄹ. f(y+3, x+4)=0 — x와 y의 자리가 바뀌었으므로 먼저 직선 y=x에 대한 대칭이동입니다. A를 y=x에 대하여 대칭이동하면 x범위 [2, 3], y범위 [1, 2]가 됩니다. 여기에 x축 방향으로 −4, y축 방향으로 −3만큼 평행이동하면 x범위는 [−2, −1], y범위는 [−2, −1]이 되어 도형 B와 일치합니다. [참]
STEP D답 고르기
도형 B를 나타낼 수 있는 방정식은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이므로 정답은 ④입니다. 정사각형이라는 모양 덕분에 평행이동만으로 가는 길(ㄱ), 원점 대칭을 거치는 길(ㄷ), y=x 대칭을 거치는 길(ㄹ)이 모두 같은 결과에 도달한다는 점이 이 문항의 핵심입니다.
1등급 다른 풀이 · 그림 대신 부등식으로 한 번에 처리하기
보기마다 그림을 네 번 그리면 시간도 오래 걸리고 방향을 헷갈리기도 쉽습니다. 이때 훨씬 안전한 무기가 부등식 대입법입니다. 발상은 간단합니다. 점 (x, y)가 새 도형 위에 있다는 것은 괄호 안에 들어간 값이 원래 도형 A 위의 점이라는 뜻입니다.
도형 A는 1≤(첫째 성분)≤2, 2≤(둘째 성분)≤3으로 표현됩니다. 이 두 줄에 각 보기의 성분을 그대로 넣고 x, y에 대해 풀기만 하면 됩니다.
ㄱ — 1≤x+3≤2, 2≤y+4≤3에서 −2≤x≤−1, −2≤y≤−1. B와 일치.
ㄴ — 1≤−x+3≤2, 2≤y+4≤3에서 1≤x≤2, −2≤y≤−1. x범위가 B와 다름.
ㄷ — 1≤−x≤2, 2≤−y+1≤3에서 −2≤x≤−1, −2≤y≤−1. B와 일치.
ㄹ — 1≤y+3≤2, 2≤x+4≤3에서 −2≤y≤−1, −2≤x≤−1. B와 일치.
대칭인지 평행이동인지, 순서가 무엇인지 단 한 번도 생각하지 않고 네 보기를 모두 처리했습니다. 부등식의 방향만 신경 쓰면 되므로(음수를 곱할 때 부등호가 뒤집힙니다) 실전에서 실수 확률이 가장 낮은 방법입니다.
실수를 줄이는 전략
- x 대신 x+3을 대입하면 도형은 +3이 아니라 −3만큼 움직입니다. 대입하는 값과 도형이 움직이는 방향은 항상 반대라는 사실을 첫 줄에 적어두고 시작하세요.
- 부호가 섞인 식은 반드시 f(−(x−3), …) 꼴로 묶으세요. −x+3을 묶지 않고 읽으면 “y축 대칭 후 −3만큼”으로 잘못 해석해 ㄴ을 참으로 판정하게 됩니다.
- 대칭이동과 평행이동은 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다. 묶어 읽기가 이 순서를 자동으로 정해 주므로, 순서를 외우려 하지 말고 묶는 습관을 들이세요.
- ㄹ처럼 x와 y의 자리가 통째로 바뀐 식은 y=x 대칭이 먼저입니다. 자리 교환을 못 보고 단순 평행이동으로 읽으면 참인 보기를 놓칩니다.
- A가 정사각형이라 정답이 여러 개입니다. ㄱ에서 평행이동만으로 B에 도달했다고 해서 나머지를 검사하지 않고 넘어가면 ①을 고르게 됩니다. 이런 유형은 반드시 네 보기를 끝까지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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