행복한 일등급문제
최다빈출 · 왕중요
접선의 길이
두 원
피타고라스 정리
출제의도
이 문항은 한 점에서 두 개의 원에 각각 그은 접선의 길이가 같다는 조건을 다룹니다. 접선의 길이는 ‘중심까지의 거리’와 ‘반지름’의 피타고라스 관계로만 결정되므로, 문제의 실질은 점 P의 x좌표를 문자 하나로 놓고 두 접선의 길이를 각각 그 문자로 표현하는 작업입니다. 일반형으로 주어진 원 C₂를 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 읽어내는 기본기가 첫 관문입니다.
최다빈출·왕중요로 배치된 이유는 제곱 상태로 다루면 문제가 무너진다는 구조 때문입니다. 두 접선의 길이는 모두 루트를 달고 있지만, 양변을 제곱하는 순간 a²이 소거되어 일차방정식으로 내려갑니다. 계산량이 아니라 ‘언제 제곱해야 하는가’라는 판단을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 P는 x축 위에 있으므로 P(a, 0)으로 놓으면 미지수는 하나뿐입니다. 그리고 원 C₂: x²+y²−8x+6y+21=0을 완전제곱식으로 고치면 (x−4)²+(y+3)²=4이므로 중심 O₂(4, −3), 반지름 2입니다. 상수항 21을 반지름과 혼동하지 않도록 주의하세요.
남은 연결고리는 하나입니다. 접점에서 반지름과 접선은 수직이므로 삼각형 OQP와 삼각형 O₂RP는 모두 직각삼각형입니다. 접선의 길이를 직접 구하려 하지 말고, 이 두 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 쓰겠다고 방향만 잡아두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직각삼각형 OQP에서 PQ²=OP²−OQ²이고, OP=a, OQ=1이므로 PQ²=a²−1입니다. 같은 방식으로 직각삼각형 O₂RP에서 PR²=O₂P²−O₂R²이고, O₂P²=(a−4)²+9, O₂R=2이므로 PR²을 a로 정리해 보세요.
PQ=PR을 그대로 두면 루트끼리의 등식이라 손대기 어렵습니다. 양변을 제곱해 PQ²=PR²로 바꾸는 순간 a²항이 양쪽에서 사라지고 a에 대한 일차방정식만 남습니다. 나온 값은 반드시 기약분수로 정리한 뒤 선지와 대조하세요.
정답 확인
정답 ④ 점 P의 x좌표 = 114
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A선분 PQ의 길이를 a로 표현
점 P의 좌표를 P(a, 0)이라 하면 OP=√(a²+0²)=a입니다. 원 C₁: x²+y²=1의 중심 O(0, 0)에서 접점 Q에 그은 반지름 OQ는 접선 PQ와 수직이므로, 직각삼각형 OQP에서 PQ²=OP²−OQ²=a²−1입니다.
따라서 PQ=√(a²−1)입니다.
STEP B선분 PR의 길이를 a로 표현
원 C₂: x²+y²−8x+6y+21=0을 정리하면 (x−4)²+(y+3)²=4이므로 중심 O₂(4, −3), 반지름 2입니다. 점 P(a, 0)에 대하여 O₂P²=(a−4)²+3²=a²−8a+25입니다.
중심 O₂에서 접점 R에 그은 반지름 O₂R와 접선 PR가 수직이므로 직각삼각형 O₂RP에서 PR²=O₂P²−O₂R²=(a²−8a+25)−2²=a²−8a+21이고, 따라서 PR=√(a²−8a+21)입니다.
STEP CPQ=PR로 두고 a의 값 구하기
주어진 조건에서 √(a²−1)=√(a²−8a+21)이므로 양변을 제곱하면 a²−1=a²−8a+21이 되고, a²이 소거되어 8a=22, 즉 a=114입니다.
이때 OP=114>1, O₂P=√((114−4)²+9)=134>2이므로 P는 두 원의 외부에 있어 접선이 실제로 존재합니다. 따라서 점 P의 x좌표는 114이고 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 원의 식을 그대로 빼기
접선의 길이의 제곱에는 계산을 통째로 생략할 수 있는 성질이 숨어 있습니다.
점 P(x, y)에서 원 C₁까지의 접선의 길이의 제곱은 OP²−1²=x²+y²−1인데, 이 식은 P의 좌표를 원 C₁의 방정식 좌변에 그대로 대입한 값과 정확히 같습니다. 같은 이유로 원 C₂에 대한 접선의 길이의 제곱은 x²+y²−8x+6y+21입니다.
그러므로 PQ=PR이라는 조건은 ‘두 원의 방정식 좌변에 P를 대입한 값이 같다’는 뜻이 되고, 두 식을 빼면 x²과 y²이 함께 사라져 8x−6y−22=0, 즉 4x−3y−11=0이라는 직선이 남습니다. 접선의 길이가 같은 점들은 모두 이 직선 위에 있습니다.
P는 x축 위의 점이므로 y=0을 대입하면 4x=11, 곧 x=114이 한 줄로 나옵니다. 원 두 개가 등장하면서 ‘두 접선의 길이가 같다’는 조건이 붙으면 두 원의 방정식을 빼라고 기억해 두면 유형 전체가 정리됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 일반형 원을 표준형으로 고칠 때 상수항을 반지름과 혼동하지 마세요. x²+y²−8x+6y+21=0의 반지름은 21이나 √21이 아니라 2입니다. 여기서 틀리면 이후 계산이 전부 무너집니다.
- 접선의 길이는 루트를 남긴 채 등식으로 놓지 말고 제곱한 상태로 비교하세요. PQ²=PR²로 두는 순간 a²이 소거되어 일차방정식으로 내려갑니다.
- O₂P²을 (a−4)²+9로 두고 전개할 때 −3의 제곱을 9로 바르게 처리해야 합니다. 부호를 잘못 옮겨 a²−8a+7 같은 식이 나오면 답이 선지에서 사라집니다.
- 8a=22에서 228로 멈추면 선지에 없는 값처럼 보입니다. 선지가 ①198 ③218 ⑤238처럼 분모 8로 깔려 있어 착시가 생기므로, 반드시 기약분수로 약분해 ④와 대조하세요.
- 구한 점이 두 원의 외부에 있는지 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항에서는 OP=114, O₂P=134로 모두 반지름보다 커서 문제가 없지만, 접선이 존재하지 않아 답에서 제외되는 유형이 함께 출제됩니다.
엄선된 풀이 영상
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