행복한 일등급문제
원의 넓이 이등분
원과 직선의 접선 조건
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 원이 두 개 등장하지만 두 원의 관계를 묻는 문제가 아닙니다. 첫 번째 원은 직선이 지나야 할 점을 알려주는 역할만 하고, 두 번째 원은 거리 조건을 만드는 역할만 합니다. 각 조건이 어떤 정보를 주는지 분리해서 읽는 것이 첫 관문입니다.
‘원의 넓이를 이등분한다’는 표현은 겉보기와 달리 넓이 계산과 무관합니다. 원은 중심에 대해 점대칭이므로 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 중심을 지납니다. 이 한 문장을 떠올리면 직선은 (6, 0)을 지나는 직선으로 바로 확정되고, 남은 미지수는 기울기 하나뿐입니다. 마지막으로 구한 두 직선과 y축이 만드는 삼각형의 밑변과 높이를 좌표평면 위에서 정확히 지정하는 부분이 이 문제의 마무리입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 조건을 하나씩 번역하세요. ‘원 (x−6)²+y²=7의 넓이를 이등분한다’ → 직선이 그 원의 중심 (6, 0)을 지난다. 반지름 √7은 이 문제에서 쓰이지 않는 정보입니다.
따라서 직선은 y = m(x−6) 하나의 미지수로 표현됩니다. 남은 조건 ‘원 x²+y²=9에 접한다’는 중심 (0, 0)에서 직선까지의 거리가 반지름 3이라는 뜻이므로, 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰기 위해 직선을 일반형 mx−y−6m=0으로 고쳐두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
거리 조건 |−6m| / √(m²+1) = 3을 세운 뒤 양변을 제곱하면 m²에 대한 일차식으로 내려가 m 값 두 개가 나옵니다. 두 값은 부호만 다른 형태이므로, 두 직선은 x축에 대해 대칭입니다. 이 대칭성을 미리 알아두면 마지막 넓이 계산이 훨씬 안전해집니다.
삼각형은 두 직선과 y축으로 둘러싸입니다. 두 직선의 교점은 처음부터 (6, 0)이고, 나머지 두 꼭짓점은 각 직선의 y절편입니다. 밑변을 y축 위의 선분으로 잡으면 밑변의 길이는 두 y절편 사이의 거리, 높이는 (6, 0)에서 y축까지의 거리입니다.
정답 확인
정답 삼각형의 넓이 = 12√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직선이 지나는 점을 확정하고 식 세우기
원 (x−6)²+y²=7의 넓이를 이등분하는 직선은 그 중심 (6, 0)을 지납니다. 기울기를 m이라 하면 y = m(x−6) ⋯⋯ ㉠ 이고, 일반형으로 고치면 mx−y−6m=0입니다.
STEP B접선 조건으로 기울기 m 구하기
직선 mx−y−6m=0이 원 x²+y²=9의 접선이므로, 중심 (0, 0)에서 직선까지의 거리가 반지름 3과 같습니다.
|−6m| / √(m²+(−1)²) = 3에서 |−6m| = 3√(m²+1)이고, 양변을 제곱하면 36m² = 9m²+9, 즉 27m² = 9이므로 m² = 13입니다. 따라서 m = √3/3 또는 m = −√3/3입니다.
STEP C두 직선과 y축이 만드는 삼각형의 넓이
m의 값을 ㉠에 대입하면 두 직선은 y = (√3/3)x − 2√3, y = −(√3/3)x + 2√3입니다.
y절편은 각각 −2√3과 2√3이므로 y축 위의 밑변의 길이는 2√3 − (−2√3) = 4√3이고, 두 직선의 교점 (6, 0)에서 y축까지의 거리인 높이는 6입니다.
따라서 넓이는 12 × 6 × 4√3 = 12√3입니다.
1등급 다른 풀이 · 30도 각으로 계산 없이 읽기
기울기를 구하는 과정을 방정식 대신 각으로 처리하면 제곱과 정리 과정이 통째로 사라집니다.
두 직선은 모두 점 (6, 0)에서 그은 원 x²+y²=9의 접선입니다. 원의 중심 O(0, 0)에서 접점까지의 거리는 반지름 3, 중심에서 (6, 0)까지의 거리는 6이므로, 접선이 x축과 이루는 각을 θ라 하면 sin θ = 3/6 = 1/2, 즉 θ = 30°입니다. 따라서 기울기는 ±tan 30° = ±√3/3으로 즉시 확정됩니다.
y절편도 같은 방식으로 읽힙니다. 직선이 (6, 0)에서 x축과 30°를 이루며 y축까지 가로로 6만큼 이동하므로, y절편의 절댓값은 6 · tan 30° = 2√3입니다. 두 직선이 x축에 대해 대칭이므로 y절편은 ±2√3이고, 밑변은 4√3, 높이는 6이 됩니다.
한 걸음 더 나아가면, 이 삼각형은 꼭지각이 60°인 이등변삼각형, 즉 정삼각형입니다. 실제로 (6, 0)과 (0, ±2√3) 사이의 거리는 √(36+12) = 4√3으로 밑변과 같습니다. 한 변의 길이가 4√3인 정삼각형의 넓이 공식 (√3/4)·(4√3)² = (√3/4)·48 = 12√3으로도 답이 확인됩니다. 검산 수단이 하나 더 생기는 셈입니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘넓이를 이등분한다’를 넓이 계산으로 받아들이지 마세요. 원에서는 중심을 지난다와 완전히 같은 말입니다. 반지름 √7은 끝까지 쓰이지 않는 미끼 정보입니다.
- 기울기를 m으로 놓는 직선 y=m(x−6)은 y축에 평행한 직선 x=6을 표현하지 못합니다. 이 문제에서는 x=6이 원 x²+y²=9에 접하지 않아 문제가 없지만, 접선을 기울기로 놓는 유형에서는 세로 직선을 따로 점검하는 습관이 필요합니다.
- 거리 공식의 분자에 들어가는 것은 일반형으로 정리한 뒤의 상수항입니다. y=m(x−6)을 그대로 대입하지 말고 반드시 mx−y−6m=0으로 고친 다음 계산하세요.
- 삼각형의 밑변과 높이를 서로 바꿔 쓰는 실수가 잦습니다. 밑변을 y축 위의 선분으로 잡았다면 높이는 반드시 꼭짓점의 x좌표인 6입니다. 두 직선의 교점이 (6, 0)이라는 사실을 먼저 확정해 두세요.
- m² = 1/3에서 m = √3/3만 쓰고 음수 근을 버리면 직선이 하나뿐이라 삼각형이 만들어지지 않습니다. 두 직선이라는 문제의 서술이 근이 두 개임을 확인해 주는 장치입니다.
엄선된 풀이 영상
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