정사각형과 좌표
대각선의 중점
두 직선의 수직 조건
출제의도
이 문항은 ‘정사각형이다’라는 도형 조건을 좌표 언어로 몇 번이나 갈아끼울 수 있는지를 묻습니다. 정사각형에서 쓸 수 있는 좌표 조건은 크게 세 가지입니다. 이웃한 두 변은 길이가 같고 서로 수직이며, 두 대각선은 서로를 이등분합니다. 이 문항은 그 세 가지를 순서대로 한 번씩 다 쓰게 만듭니다.
어려운 계산은 하나도 없습니다. 대신 A(−2, 3) 하나에서 C를 얻고, C에서 B를 얻고, C와 D에서 F를 얻고, 다시 F에서 E를 얻는 연쇄 구조가 핵심입니다. 중간에 한 점이라도 어긋나면 뒤가 전부 무너지고, 각 단계마다 후보가 두 개씩 나오는데 그중 하나를 그림·사분면 조건으로 걸러내야 합니다. 좌표 결정 문항의 표준 훈련용 문제입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
정사각형 OABC에서 O와 이웃한 꼭짓점은 A와 C입니다. 즉 OA=OC이고 ∠AOC=90°이므로, 점 A를 원점을 중심으로 90° 돌리면 점 C가 됩니다. 이것을 좌표로 옮기려면 A와 C에서 x축에 각각 수선의 발을 내려 보세요. 직각삼각형 두 개가 합동이 되면서 C의 좌표가 A의 좌표에서 바로 읽힙니다.
남은 점 B는 O의 대각에 있는 꼭짓점입니다. 정사각형의 두 대각선은 서로를 이등분한다는 성질, 즉 ‘선분 OB의 중점 = 선분 AC의 중점’을 쓰면 B는 계산 한 줄로 끝납니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 번째 정사각형 CDEF는 C와 D만 주어졌습니다. CD가 한 변이므로 이웃한 변 CF에 대해 CF⊥CD이고 CF=CD입니다. 기울기 곱이 −1이라는 조건으로 F(c, d)를 c 하나로 줄인 뒤, 길이 조건 CD²=CF²에 대입하면 c에 대한 이차방정식이 나옵니다.
c가 두 개 나오면 ‘정사각형 CDEF는 제1사분면 위에 있다’는 단서로 하나를 버리세요. 마지막 점 E는 다시 대각선 성질입니다. 선분 DF의 중점과 선분 EC의 중점이 같다는 식을 세우면 E가 나오고, 문제가 묻는 것은 OE가 아니라 OE²이므로 루트를 씌우기 전에 멈추면 됩니다.
정답 확인
정답 OE² = 149
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합동을 이용해 점 C의 좌표 구하기
점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 P, 점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하면 두 직각삼각형 APO와 OQC는 합동입니다(OA=OC, ∠AOC=90°). 따라서 AP=OQ=3, PO=QC=2이므로 C(3, 2)입니다.
STEP B대각선의 중점으로 점 B의 좌표 구하기
B(a, b)라 하면 선분 AC의 중점은 ((−2+3)/2, (3+2)/2) = (1/2, 5/2)이고, 선분 BO의 중점은 (a/2, b/2)입니다. 정사각형의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로 두 중점이 일치하고, a=1, b=5에서 B(1, 5)입니다.
STEP C수직·길이 조건으로 점 F의 좌표 구하기
직선 CD의 기울기는 (1−2)/(9−3) = −1/6이므로 이와 수직인 직선 CF의 기울기는 6입니다. F(c, d)라 하면 (d−2)/(c−3)=6에서 d−2=6c−18 … ㉠
길이 조건 — CD=√((9−3)²+(1−2)²)=√37이고 CF²=(c−3)²+(d−2)²이므로 (c−3)²+(d−2)²=37입니다. ㉠을 대입하면 37(c−3)²=37, 즉 (c−3)²=1
후보 선별 — c=2이면 d=−4로 F가 제4사분면의 점이 되어 조건에 어긋납니다. c>3이므로 c=4, d=8, 즉 F(4, 8)
STEP D점 E의 좌표와 OE² 구하기
E(e, f)라 하면 선분 DF의 중점은 ((9+4)/2, (1+8)/2) = (13/2, 9/2)이고, 선분 EC의 중점은 ((e+3)/2, (f+2)/2)입니다. 정사각형 CDEF에서도 두 대각선이 서로를 이등분하므로 e=10, f=7, 즉 E(10, 7)입니다. 따라서 OE²=10²+7²=149입니다.
1등급 다른 풀이 · 90° 회전으로 한 번에 읽기
정사각형의 이웃한 두 변은 ‘길이가 같고 수직’인데, 이것은 좌표평면에서 90° 회전과 정확히 같은 말입니다. 원점을 중심으로 점 (x, y)를 시계 방향으로 90° 돌리면 (y, −x), 반시계 방향으로 돌리면 (−y, x)가 됩니다. 이 규칙 하나면 네 점이 순식간에 결정됩니다.
먼저 벡터 OA=(−2, 3)을 시계 방향으로 90° 돌리면 (3, 2)이므로 C(3, 2)입니다. 정사각형은 평행사변형이기도 하므로 B = A + C = (1, 5)입니다.
두 번째 정사각형도 같습니다. C에서 D로 가는 이동량은 (6, −1)이고, 이를 반시계 방향으로 90° 돌리면 (1, 6)이 되어 이것이 C에서 F로 가는 이동량입니다. 즉 F(3+1, 2+6)=F(4, 8)이고, E는 D에서 같은 이동량만큼 간 점이므로 E(9+1, 1+6)=E(10, 7)입니다. 이차방정식을 세울 필요 없이 덧셈만으로 OE²=100+49=149에 도달합니다.
실수를 줄이는 전략
- 꼭짓점 순서를 먼저 확인하세요. 정사각형 OABC라면 O—A, A—B, B—C, C—O가 변이고 O와 B, A와 C가 대각입니다. 이 짝을 잘못 잡으면 중점 조건 자체가 무너집니다.
- 중점 조건은 반드시 대각선끼리 짝지어야 합니다. OB와 AC, DF와 EC가 짝입니다. 이웃한 꼭짓점끼리 중점을 맞추는 실수가 가장 흔합니다.
- 회전 방향 후보는 항상 두 개입니다. 이 문항에서는 그림과 ‘제1사분면’ 단서가 판정 근거이며, c=2(F(2, −4))처럼 조건을 어기는 해는 반드시 명시적으로 버리세요.
- 수직 조건에서 기울기 −1/6의 역수의 부호를 놓치면 6이 아니라 −6이 됩니다. 기울기 곱이 −1인지 대입해 한 번 검산하는 습관을 들이세요.
- 문제가 묻는 것은 OE가 아니라 OE²입니다. √149를 구해놓고 답란에 12.2를 쓰는 식의 마무리 실수를 조심하세요.