일등급문제
STEP 3 · 일등급문제
도형의 넓이 이등분
사다리꼴의 넓이
직사각형의 대각선
출제의도
네 직선 x = 1, x = 5, y = −1, y = 6이 만드는 도형은 가로 4, 세로 7인 직사각형입니다. 일차함수 y = ax의 그래프는 원점을 지나는데, 원점은 이 직사각형 바깥(x 좌표 0이 1보다 작음)에 있으므로 직선은 직사각형을 비스듬히 관통하며 위·아래 두 조각으로 나눕니다. 그림을 정확히 그리는 순간 문제의 절반이 끝납니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 접근 경로가 두 갈래이고 그 격차가 크기 때문입니다. 정직하게 두 교점의 좌표를 잡아 사다리꼴의 넓이를 a로 표현해 방정식을 푸는 길이 하나, ‘직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 두 대각선의 교점을 지난다’는 성질을 알고 좌표 하나만 대입하는 길이 다른 하나입니다. 전자는 여섯 줄, 후자는 두 줄입니다. 같은 답에 도달하더라도 시험장에서의 가치는 전혀 다릅니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 네 직선을 좌표평면에 직접 그려 보세요. x = 1과 x = 5는 세로선, y = −1과 y = 6은 가로선이므로 둘러싸인 도형은 가로 4, 세로 7인 직사각형이고 넓이는 28입니다. 이등분한다면 한 조각의 넓이는 14입니다.
다음으로 y = ax가 이 직사각형과 어디서 만나는지 확인하세요. 원점을 지나 오른쪽 위로 뻗어 나가므로 왼쪽 변 x = 1을 통해 들어와 오른쪽 변 x = 5로 빠져나갑니다. 이 두 교점의 좌표를 a로 나타내는 것이 다음 단계입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
y = ax가 x = 1, x = 5와 만나는 점을 각각 E, F라 하면 E(1, a), F(5, 5a)입니다. F의 y좌표가 a가 아니라 5a라는 점이 핵심입니다. 이제 직선 위쪽 조각은 윗변 y = 6과 두 세로변, 그리고 선분 EF로 둘러싸인 사다리꼴이 됩니다.
이 사다리꼴에서 평행한 두 변은 세로 방향의 선분이고, 높이는 가로 방향의 4입니다. 두 평행변의 길이를 a로 쓴 뒤 사다리꼴 넓이 공식에 넣어 14와 같다고 놓으면 a에 대한 일차방정식이 나옵니다. 마지막으로 묻는 값이 a가 아니라 6a임을 확인하세요.
정답 확인
정답 6a = 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A둘러싸인 도형의 넓이 구하기
네 직선 x = 1, x = 5, y = −1, y = 6으로 둘러싸인 도형의 꼭짓점을 A, B, C, D라 하면 A(1, 6), B(1, −1), C(5, −1), D(5, 6)이고 사각형 ABCD는 직사각형입니다.
가로는 5 − 1 = 4, 세로는 6 − (−1) = 7이므로 넓이는 4 × 7 = 28이고, 이등분된 한 조각의 넓이는 14입니다.
STEP B사다리꼴의 넓이를 이용하여 a 구하기
일차함수 y = ax의 그래프가 직선 x = 1, x = 5와 만나는 점을 각각 E, F라 하면 E(1, a), F(5, 5a)입니다. 이때 위쪽 조각인 사다리꼴 AEFD에서
AE = 6 − a (점 A(1, 6)과 점 E(1, a) 사이의 거리)
DF = 6 − 5a (점 D(5, 6)과 점 F(5, 5a) 사이의 거리)
두 평행변 AE, DF 사이의 거리(높이)는 AD = 4이므로 사다리꼴 AEFD의 넓이는
(1/2) × {(6 − a) + (6 − 5a)} × 4 = 24 − 12a
이 값이 14와 같으므로 24 − 12a = 14, 즉 12a = 10에서 a = 5/6입니다.
STEP C6a의 값 계산
따라서 6a = 6 × (5/6) = 5입니다.
검산해 보면 a = 5/6일 때 E(1, 5/6), F(5, 25/6 ≈ 4.17)이고 두 점의 y좌표가 모두 −1과 6 사이에 있으므로, 직선이 실제로 좌우 두 세로변을 지난다는 가정이 유효합니다.
1등급 다른 풀이 · 대각선의 교점으로 두 줄에
직사각형은 두 대각선의 교점에 대하여 점대칭인 도형입니다. 따라서 그 점을 지나는 직선은 직사각형을 항상 합동인 두 조각으로 나눕니다. 반대로 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 그 교점을 지나야 합니다.
두 대각선의 교점은 마주 보는 두 꼭짓점 A(1, 6), C(5, −1)의 중점이므로 ((1 + 5)/2, (6 + (−1))/2), 즉 (3, 5/2)입니다. 직선 y = ax가 이 점을 지나므로 5/2 = 3a, 따라서 a = 5/6이고 6a = 5입니다. 사다리꼴 넓이 계산을 전혀 하지 않고 중점 좌표 한 번으로 끝납니다.
이 성질은 평행사변형, 마름모, 정사각형처럼 점대칭인 도형 전체에 그대로 적용됩니다. 넓이 이등분 문제를 만나면 먼저 ‘이 도형에 대칭중심이 있는가’를 묻는 습관이 시간을 크게 줄여줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이 28을 구한 뒤 그 값을 그대로 방정식에 넣지 마세요. 이등분이므로 한 조각은 14입니다. 가장 흔한 실수 지점입니다.
- 두 교점의 y좌표를 혼동하지 마세요. E(1, a)이지만 F는 (5, a)가 아니라 (5, 5a)입니다. x = 5를 y = ax에 대입해야 합니다.
- 사다리꼴의 평행한 두 변과 높이의 방향을 정확히 잡으세요. 여기서 평행한 두 변은 세로 방향의 AE, DF이고 높이는 가로 방향의 4입니다. 방향을 바꿔 잡으면 식 자체가 어긋납니다.
- 아래쪽 조각으로 계산해도 됩니다. 사다리꼴 EBCF의 넓이는 (1/2){(a + 1) + (5a + 1)} × 4 = 12a + 4이고, 이것을 14로 놓아도 a = 5/6이 나옵니다. 두 방향 중 계산이 짧은 쪽을 고르되, 한쪽으로 검산하면 확실합니다.
- 답을 구한 뒤 교점이 실제로 직사각형의 변 위에 있는지 확인하세요. a가 지나치게 크면 직선이 세로변이 아니라 위쪽 가로변으로 빠져나가 사다리꼴 가정이 깨집니다.
- 문제가 묻는 것은 a가 아니라 6a입니다. a = 5/6에서 멈추면 오답이 되며, 계수 6은 답을 정수로 만들기 위한 장치입니다.