📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 5단원 573번│다항식 P(x) 항등식
2018년 6월 고1 학력평가 29번
📋 문제 핵심 파악
주어진 것: 최고차항의 계수가 음수인 이차다항식 P(x)가 모든 실수 x에 대하여
{P(x)+x}² = (x-a)(x+a)(x²+5) + 9
를 만족
구하는 것: {P(a)}²의 값 (단, a > 0)
🔥 핵심 공식
(x-a)(x+a) = x² – a²
좌변이 완전제곱 → 우변도 완전제곱
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 우변 전개
(x-a)(x+a)(x²+5) + 9
= (x² – a²)(x² + 5) + 9
= x⁴ + 5x² – a²x² – 5a² + 9
= x⁴ + (5 – a²)x² + (9 – 5a²)
🔑 완전제곱식 조건
우변이 x²에 대한 완전제곱식이어야 함
t = x²로 치환하면
t² + (5 – a²)t + (9 – 5a²)
완전제곱식 조건: D = 0
(5 – a²)² – 4(9 – 5a²) = 0
🔑 a 값 결정
25 – 10a² + a⁴ – 36 + 20a² = 0
a⁴ + 10a² – 11 = 0
(a² + 11)(a² – 1) = 0
a² = 1 (a² = -11은 불가)
a = 1 (a > 0)
🔑 P(x) 결정 및 {P(a)}² 계산
a = 1일 때 우변 = (x² + 2)²
P(x) + x = ±(x² + 2)
최고차항 계수가 음수이므로
P(x) + x = -(x² + 2)
P(x) = -x² – x – 2
P(1) = -1 – 1 – 2 = -4
{P(1)}² = 16
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 5단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: (x-a)(x+a) = x² – a² 이용
- STEP 2: 우변을 x²에 대한 이차식으로 정리
- STEP 3: 완전제곱식 조건 → a = 1
- STEP 4: 최고차항 계수 음수 조건 적용
- STEP 5: P(1) 계산 후 제곱
- 정답: 16
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: (x-a)(x+a)(x²+5) 전개 실수
- 실수 2: 최고차항 계수가 음수인 조건 무시
- 실수 3: a² = -11을 실수해로 착각
🍯 TOUGH 문제 공략 꿀팁
- 4차식 → 치환: x² = t로 치환하여 이차식 처리
- 조건 체크: 최고차항 부호, a > 0 조건 꼭 확인
- 학평 29번: 단답형 고난도 문제!
- 검산: P(x) = -x² – x – 2 대입해서 항등식 확인