📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 4단원 483번│i의 거듭제곱 곱의 합
i¹·1 + i²·2 + i³·3 + … + i²⁰·20
📋 문제 핵심 파악
구하는 식: i¹·1 + i²·2 + i³·3 + … + i²⁰·20
참고: i=√(-1)
구하는 것: 위 식의 값
🔥 i의 거듭제곱 (주기 4)
i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
i⁵ = i, i⁶ = −1, i⁷ = −i, i⁸ = 1, …
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 4개씩 묶어서 계산
20 = 4×5이므로 5묶음으로 나눔
S = (i¹·1 + i²·2 + i³·3 + i⁴·4)
+ (i⁵·5 + i⁶·6 + i⁷·7 + i⁸·8)
+ … + (i¹⁷·17 + i¹⁸·18 + i¹⁹·19 + i²⁰·20)
🔑 각 묶음 계산
| 묶음 | i·□ | −1·□ | −i·□ | 1·□ | 합 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1~4 | 1·i | 2·(−1) | 3·(−i) | 4·1 | −2i+2 |
| 5~8 | 5·i | 6·(−1) | 7·(−i) | 8·1 | −2i+2 |
| 9~12 | 9·i | 10·(−1) | 11·(−i) | 12·1 | −2i+2 |
| 13~16 | 13·i | 14·(−1) | 15·(−i) | 16·1 | −2i+2 |
| 17~20 | 17·i | 18·(−1) | 19·(−i) | 20·1 | −2i+2 |
🔑 한 묶음 분석 (n=4k−3, 4k−2, 4k−1, 4k)
i·(4k−3) + (−1)·(4k−2) + (−i)·(4k−1) + 1·(4k)
= (4k−3)i − (4k−2) − (4k−1)i + 4k
실수부: −(4k−2)+4k = 2
허수부: (4k−3)−(4k−1) = −2
한 묶음 = 2−2i
🔑 최종 계산
총 5묶음이므로
S = 5×(2−2i) = 10−10i
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 4단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: 20 = 4×5 → 5묶음으로 분리
- STEP 2: 한 묶음: i·□ − 1·□ − i·□ + 1·□
- STEP 3: 한 묶음 합 = 2−2i
- STEP 4: 총합 = 5×(2−2i) = 10−10i
- 정답: 10−10i
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: i의 거듭제곱 주기 계산 오류
- 실수 2: 실수부와 허수부 분리 시 부호 실수
- 실수 3: 묶음 개수 계산 실수
🍯 TOUGH 문제 공략 꿀팁
- 주기 활용: 4개씩 묶으면 i, −1, −i, 1 반복
- 일반화: 한 묶음의 합 공식 유도
- 실수/허수: 각각 따로 계산 후 합치기
- 검산: 첫 묶음 직접 계산해서 확인