📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 4단원 460번│고1 학력평가 17번
z²−z̄가 실수일 때 보기 판별
📋 기출 정보
- 출처: 2016년 6월 고1 학력평가
- 문항번호: 17번
- 단원: 복소수
- 난이도: 중
📋 문제 핵심 파악
주어진 것: 복소수 z=a+bi (a, b는 0이 아닌 실수)
조건: z²−z̄가 실수
참고: i=√(-1)이고 z̄는 z의 켤레복소수
[보기]
ㄱ. z²−z̄는 실수이다.
ㄴ. z+z̄=1
ㄷ. zz̄ > 1/4
구하는 것: 옳은 것만을 있는 대로 고른 것
🔥 핵심 공식
z² = (a+bi)² = (a²−b²)+2abi
z̄ = a−bi
📚 조건 분석 및 보기 판별
🔑 z²−z̄ 계산
z² = (a+bi)² = a²−b²+2abi
z̄ = a−bi
z²−z̄ = (a²−b²+2abi)−(a−bi)
= (a²−b²−a)+(2ab+b)i
= (a²−b²−a)+(2a+1)bi
🔑 실수 조건
z²−z̄가 실수 ⟺ 허수부 = 0
(2a+1)b = 0
b≠0이므로 2a+1 = 0 → a = −1/2
ㄱ. z²−z̄는 실수이다. → ✅ 참
조건에서 z²−z̄가 실수라고 주어졌으므로 당연히 참
ㄴ. z+z̄=1 → ❌ 거짓
z+z̄ = (a+bi)+(a−bi) = 2a
a = −1/2이므로 z+z̄ = 2×(−1/2) = −1 ≠ 1
ㄷ. zz̄ > 1/4 → ✅ 참
zz̄ = a²+b² = (−1/2)²+b² = 1/4+b²
b≠0이므로 b² > 0
∴ zz̄ = 1/4+b² > 1/4 ✓
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 4단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: z²−z̄ 전개 → 허수부 = (2a+1)b
- STEP 2: 실수 조건 → 2a+1=0 → a=−1/2
- STEP 3: 각 보기에 a=−1/2 대입
- STEP 4: ㄱ(참), ㄴ(거짓), ㄷ(참)
- 정답: ③ ㄱ, ㄷ
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: z² 전개 시 2abi 계산 실수
- 실수 2: b≠0 조건 활용 안 함
- 실수 3: zz̄=a²+b² 공식 오기억
🍯 학평 기출 꿀팁
- 실수 조건: 허수부 = 0으로 a 결정
- z+z̄: 2×(실수부) = 2a
- zz̄: |z|² = a²+b² (항상 ≥ 0)
- b≠0: b² > 0이므로 부등식에 활용