📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 3단원 380번│고1 학력평가 21번
P(x)+Q(x)=4, P³+Q³ 조건 활용
📋 기출 정보
- 출처: 2018년 6월 고1 학력평가
- 문항번호: 21번
- 단원: 인수분해
- 난이도: 행복한 1등급 (최상)
🏆 행복한 1등급
a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) 공식을 활용하는 고난도 문제!
P(x)+Q(x)=4 조건을 활용하여 P(x)Q(x)를 구합니다.
📋 문제 핵심 파악
주어진 것: 두 이차다항식 P(x), Q(x)
조건 (가): P(x)+Q(x) = 4
조건 (나): {P(x)}³+{Q(x)}³ = 12x⁴+24x³+12x²+16
추가: P(x)의 최고차항의 계수가 음수
구하는 것: P(2)+Q(3)의 값
🔥 핵심 공식
a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)
P³+Q³ = (P+Q)³ − 3PQ(P+Q)
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 공식 적용
P³+Q³ = (P+Q)³ − 3PQ(P+Q)
P+Q = 4이므로
P³+Q³ = 4³ − 3PQ×4 = 64 − 12PQ
🔑 P(x)Q(x) 구하기
12x⁴+24x³+12x²+16 = 64 − 12P(x)Q(x)
12P(x)Q(x) = 64 − 12x⁴−24x³−12x²−16
12P(x)Q(x) = −12x⁴−24x³−12x²+48
P(x)Q(x) = −x⁴−2x³−x²+4
🔑 P(x)Q(x) 인수분해
−x⁴−2x³−x²+4 = −(x⁴+2x³+x²−4)
= −(x²+x+2)(x²+x−2)
= −(x²+x+2)(x+2)(x−1)
🔑 P(x), Q(x) 결정
P+Q = 4, PQ = −(x²+x+2)(x+2)(x−1)
P(x)의 최고차항 계수가 음수 조건 활용
P(x) = −x²−x+2 = −(x+2)(x−1)
Q(x) = x²+x+2
검산: P+Q = −x²−x+2+x²+x+2 = 4 ✓
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 3단원 답지 (1)
📖 마플시너지 공통수학1 3단원 답지 (2)
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: P³+Q³ = (P+Q)³−3PQ(P+Q) = 64−12PQ
- STEP 2: PQ = −x⁴−2x³−x²+4 계산
- STEP 3: PQ 인수분해
- STEP 4: 최고차항 음수 조건으로 P, Q 결정
- STEP 5: P(2) = −4−2+2 = −4, Q(3) = 9+3+2 = 14
- 정답: P(2)+Q(3) = −4+14 = 10
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: a³+b³ 공식 변형 오류
- 실수 2: P(x)Q(x) 인수분해 실패
- 실수 3: 최고차항 음수 조건으로 P, Q 배분 오류
🍯 행복한 1등급 꿀팁
- 핵심 공식: a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) 필수 암기!
- 합이 상수: P+Q=4 조건이면 PQ만 구하면 됨
- 사차식 인수분해: 복이차식 형태로 변형 시도
- 조건 활용: 최고차항 계수로 P, Q 구분