📌 문제 요약

반원 위에 9개의 점이 있을 때(반원의 지름 위 5개, 호 위 4개), 이 중 4개의 점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 개수를 3단계로 구하는 문제입니다. 정답은 81입니다.

🔑 핵심 단서

• 1단계: 9개의 점 중 4개를 택하는 경우의 수 ₉C₄ = 126.
• 2단계: 사각형이 아닌 경우를 제외한다. (ⅰ) 지름 위 5개 점에서 4개 선택: ₅C₄ = 5. (ⅱ) 지름 위 5개 점에서 3개 + 호 위 4개 점에서 1개(일직선 포함): ₅C₃ × ₄C₁ = 10 × 4 = 40. 사각형이 아닌 경우 합계: 5 + 40 = 45.
• 3단계: 사각형의 개수 = 126 − 45 = 81.

💡 왜 이렇게 풀어야 할까?

반원 위의 점에서 사각형을 만들 때, 4개의 점이 모두 “볼록 사각형”을 이루어야 합니다. 사각형이 되지 않는 경우는 네 점 중 세 점 이상이 한 직선 위에 있는 경우입니다. 이 문제에서 일직선이 가능한 곳은 반원의 지름뿐이므로, 지름 위에서 4점을 택하거나 3점을 택하는 경우를 제외하면 됩니다. 호 위의 점만으로는 일직선이 될 수 없으므로 고려하지 않아도 됩니다.

🖼️ 해설 이미지

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