TOUGH2008년 6월 고3 모의평가 나형 29번
마플시너지 공통수학1 12단원 1692번 – 5의 배수이고 a＞b＞c, c＜d＜e를 만족하는 자연수의 개수
📌 문제 요약
1부터 9까지의 서로 다른 자연수 a, b, c, d, e에 대하여 다섯 자리 자연수 abcde가 5의 배수이고 a＞b＞c, c＜d＜e를 만족시키는 모든 자연수의 개수를 구하는 문제입니다. 정답은 ③ 71입니다.
🔑 핵심 단서
- 5의 배수이므로 e = 5 (일의 자리가 0 또는 5인데, 1~9이므로 e = 5로 확정).
- a＞b＞c이고 c＜d＜e=5이므로 c가 가장 작은 값이며, c를 기준으로 경우를 나눈다.
- c＜d＜5이므로 c와 d는 5보다 작아야 한다. 따라서 c ≤ 3.
- c의 값에 따라 d의 범위가 정해지고, a＞b＞c에서 a, b를 c보다 큰 수 중에서(단, d와 5 제외) 2개 택한다.
- c = 1, 2, 3 각 경우를 합의 법칙으로 더한다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
이 문제는 여러 조건이 동시에 주어진 복합 문제입니다. 풀이의 출발점은 “5의 배수 → e = 5 확정”으로 변수를 하나 줄이는 것입니다. 그 다음 c＜d＜5에서 c와 d의 범위를 좁히고, a＞b＞c에서 a, b는 c보다 큰 수 중에서 2개를 택하면 크기순으로 자동 배정됩니다. c를 기준으로 경우를 나누면, 각 경우에서 d 선택과 {a, b} 선택이 독립적으로 이루어져 곱의 법칙을 적용할 수 있습니다.
🖼️ 해설 이미지
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🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
- e = 5를 확정한 후 a, b에서 5를 다시 사용하는 실수 — 서로 다른 자연수 조건을 항상 확인하세요.
- c＜d＜e에서 d의 범위를 잘못 설정하는 실수 — e = 5이므로 d는 c+1부터 4까지만 가능합니다.
- a＞b＞c에서 a, b를 선택할 때 이미 사용한 d와 5를 후보에서 제외하지 않는 실수가 빈번합니다.
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